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Selectividad Andalucía 2019 Junio B4

Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos , y .

– a) Halla el área de dicho triángulo.
– b) Calcula el coseno del ángulo en el vértice

SOLUCIÓN

Dados los puntos , y , podemos formar los vectores:
$\vec{AB}=(0,-1,2)$
$\vec{AC}=(-1,1,1)$

El producto vectorial nos da el área del paralelogramo.
La mitad es el área del triángulo

$A_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right| = -3\vec{i} -2\vec{j} -\vec{k}$
Por tanto $\vec{AB} \times \vec{AC} =(-3,-2,-2)$

$A_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-3)^2+(-2)^2+(-1)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{14} \:u^2$

(El

significa unidades cuadradas)

– b) De la fórmula del producto escalar: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot cos(\widehat{\vec{AB},\vec{AC}})$ ,
despejaremos el coseno:
$cos(\hat{A}) = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{AC}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}=$
$cos(\hat{A}) =\frac{(-1)\cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 1}{\sqrt{o^2+(-1)^2+2^2} \cdot \sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}$

$cos(\hat{A}) =\frac{1}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$