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Sucesión divergente

Dada la siguiente sucesión: 1 , 4 , 7 , 10 , ... ¿Cuál es la expresión de su término general?. ¿Es convergente, divergente u oscilante?. ¿Es una progresión? En caso afirmativo indique de qué tipo y cuál es la constante de la progresión. Por último, calcule la suma de sus 20 primeros términos

SOLUCIÓN

$1 \qquad 4 \qquad 7 \qquad 10 \qquad 13 \qquad \cdots$

En primer lugar vemos que cada término se obtiene sumando 3 al anterior.
Por tanto es una progresión aritmética de diferencia 3

La fórmula del término general de las progresiones aritméticas es:

$\fbox{a_n=a_1+(n-1)\cdot d}$

En este caso será:

$a_n=1+(n-1)\cdot 3 = 1+3n-3=3n-2$

Se trata de una sucesión divergente pues su límite es infinito (los términos se van haciendo cada vez más grandes)

$\lim_{n \rightarrow +\infty} 3n-2 = +\infty$

La fórmula de la suma de los n primeros términos es la siguiente

$\fbox{S_n=\frac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}}$

La suma de los 20 primeros es:

$S_{20}=\frac{(a_1+a_{20}) \cdot 20}{2}$

Conocemos , pero necesitamos calcular $a_{20}$

$a_n=3n-2 \longrightarrow a_{20}=3 \cdot 20 - 2 = 58$

Entonces la suma de los 20 primeros es:

$S_{20}=\frac{(1+58) \cdot 20}{2} = 590$