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Funciones gráfica problemas

Lanzamos verticalmente un cohete. La altura (en metros) a la que se encuentra en cada instante (en segundos) viene determinada por la función: . Se pide:

– a) Dibuja la gráfica de la función
– b) Indica cuál es su dominio
– c) ¿Cuánto tiempo pasará para que alcance su altura máxima? ¿Cuál será esa altura máxima?
– d) ¿En qué intervalo de tiempo estará a una altura mayor de 4.500 metros?

SOLUCIÓN

En este problema la "acción" se va a desarrollar en las partes positivas de ambos ejes.
El número de segundos no puede ser negativo.
La altura del cohete tampoco puede ser negativa.
Por tanto, preparamos la siguiente gráfica:

La función es una parábola (polinómica de segundo grado) que debemos dibujar sólo en la parte positiva de los ejes.

Calculamos el vértice (recordemos que la coordenada x del vértice responde a la fórmula $x=\frac{-b}{2a}$
$x=\frac{-500}{2 \cdot (-5)}=50$
La coordenada "y" será:
$y = -5 \cdot 50^2 + 500 \cdot 50=12500$
Por tanto, el vértice es

El coeficiente (-5) negativo de x² nos dice que la parábola está orientada hacia abajo (vértice arriba y ramas hacia abajo).

Calculamos los puntos de corte con los ejes de coordenadas:

Si $x=0 \longrightarrow y=(-5) \cdot 0^2 + 500 \cdot 0 = 0$
Punto de corte:

Si $y=0 \longrightarrow 0= -5x^2 + 500x$
Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones y
Puntos de corte: y

Podemos calcular otros puntos que nos ayuden a dibujar la grafica:
Si $x=20 \longrightarrow y=(-5) \cdot 20^2 + 500 \cdot 20 = 8000$
Si $x=40 \longrightarrow y=(-5) \cdot 40^2 + 500 \cdot 40 = 12000$
Podemos obtener más puntos aprovechando la simetría de la parábola (o calculando como los anteriores):
$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 20 & 8000 \\ 40 & 12000 \\ 60 & 12000 \\ 80 & 8000 \\ \end{array}$
Ya podemos dibujarla al completo

Hemos tenido que hacer distintas escalas en cada eje para que el dibujo se aprecie mejor.

– b) El dominio de la función es

– c) La altura máxima es 12500 metros y la alcanza a los 50 segundos (observa que corresponde con los datos del vértice)

– d) Veamos cuando está a 4500 metros

Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones y
Alcanza dos veces los 4500 m, una cuando está subiendo y otra cuando está bajando.
Por tanto en el intervalo (en segundos) estará a una altura mayor de 4500 metros.

En la siguiente imagen vemos reflejado éste último apartado