EJERCICIOS RESUELTOS - Matrices, Determinantes y Sistemas

Matrices, Determinantes y Sistemas - 2º Bach. Ciencias

Considera el sistema de ecuaciones:

 \left\{
\begin{array}{lll}
x + my + z = 0 \\
x + y + mz = 2 \\
mx + y + z = m
\end{array}
\right.

 (a) ¿Para qué valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones?
 (b) ¿Para qué valores de m el sistema admite solución en la que x = 1?


Considera el sistema de ecuaciones
\left.
\begin{array}{ccc}
x+y+z & = & 0 \\
2x+\lambda y+z & = & 2 \\
x+y+\lambda z & = & \lambda - 1 
\end{array}
\right\}

 a) Determina el valor de \lambda para que el sistema sea incompatible.
 b) Resuelva el sistema para \lambda = 1


 (a) Calcula el valor de m para el que la matriz
A = 
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
1 & m\end{array}
\right)
verifica la relación 2A^2-A=I y determina A^{-1} para dicho valor de m

 (b) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2M^2-M=I , determina la expresión de M^{-1} en función de M y de I.


Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones para ls valores de m que lo hacen compatible:
\left.
\begin{array}{ccc}
x+my & = & m \\
mx+ y & = & m \\
mx+my & = & 1 
\end{array}
\right\}


Considera la matriz
\left(
\begin{array}{ccc}
1 &1 &1 \\
m &m^2 & m^2 \\
m & m & m^2 
\end{array}
\right)

 a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3
 b) Estudia si el sistema
A \cdot \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z 
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 
\end{array}
\right) tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.


 (a) Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

\left.
\begin{array}{ccc}
2x+y+z & = & mx \\
x + 2y+ z & = & my \\
x + 2y+ 4z & = & mz 
\end{array}
\right\}

 (b) Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1.


Dada la matriz
A = 
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3 & k\\
k & 1 & 3\\
1 & 7 & k
\end{array}
\right)

 (a) Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k.
 (b) Para k = 0, halla la matriz inversa de A.


Sean las matrices

A = 
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
 -1 & 1
\end{array}
\right)
,
B = 
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
 0 & -1 & -1\\
 0 & 1 & 2
\end{array}
\right)
y
C = 
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 1 & 2\\
 0 & 1 & -2
\end{array}
\right)

Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB = C


Considera las matrices:

A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\cr 0 & \lambda & 1\cr 0 & -1 & \lambda\end{array}\right)
\qquad y \qquad
B=\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1\cr 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\end{array}\right)

 a) ¿Hay algún valor de \lambda para el que A no tiene inversa?
 b) Para \lambda=1, resuelve la ecuación matricial A^{-1}XA = B


Dadas las matrices

 A =
\left(
\begin{array}{ccc}
     \alpha & 1 & -1
  \\ 1 & \alpha & -1
  \\ -1 & -1 & \alpha
\end{array}
\right)

 B =
\left(
\begin{array}{ccc}
     0
  \\ 1
  \\ 1
\end{array}
\right)

 a) Calcula el rango de A dependiendo de los valores de \alpha
 b) Para \alpha=2, resuelve la ecuación matricial A^tX=B


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