trigonometría problemas

Observamos el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 72^\circ sobre la horizontal. Si nos alejamos 350 metros, lo vemos bajo un ángulo de 31^\circ. ¿A qué altura se encuentra la torre?

SOLUCIÓN

Hacemos un dibujo de la situación

Se trata de un problema clásico de trigonometría que se resuelve usando las tangentes de los ángulos de 31 y 72. De esa forma se obtienen dos ecuaciones y un máximo de dos incógnitas (bastaría con resolver el sistema).

Si intentamos usar senos o cosenos aparecerían más incógnitas complicando más la situación.

 \left\{
\begin{array}{lll}
tg \: 72 = \frac{h}{x}\\
tg \: 31 = \frac{h}{350+x}
\end{array}
\right.

Podemos usar el método de igualación despejando "h" en ambas ecuaciones:

 \left\{
\begin{array}{lll}
tg \: 72 \cdot x= h\\
tg \: 31 \cdot(350+x)  = h
\end{array}
\right.

tg \: 72 \cdot x= tg \: 31 \cdot(350+x)

tg \: 72 \cdot x= tg \: 31 \cdot 350+  tg \: 31 \cdot x

Se podrían sustituir las tangentes por sus valores (usando la calculadora), o bien se puede dejar para hacer los cálculos al final (optaremos por dejarlos para el final).

Para resolver la ecuación de primer grado ponemos las "x" en la izquierda y los números a la derecha del signo igual.

tg \: 72 \cdot x -  tg \: 31 \cdot x= tg \: 31 \cdot 350
(tg \: 72  -  tg \: 31) x= tg \: 31 \cdot 350
x= \frac{tg \: 31 \cdot 350}{tg \: 72  -  tg \: 31}

Usamos la calculadora y obtenemos un valor (aproximado) de x=84.9 \: m

Ahora calculamos "h" en una de las expresiones donde estaba despejada:

h=tg \: 72 \cdot x

\fbox{h=261.3 \: m}