Derivadas de funciones derivada de una funciónEjercicios_Resueltosfuncionesv_youtube «Calcula» la derivada de las siguientes funciones: – a) – b) SOLUCIÓN Ver solución en vídeo Comentar el ejercicio
![\displaystyle \begin{array}{rcl@{\quad}l}f(x) & = & \dfrac{5x^{2} - x}{3x^{4} - 2} & \\[4pt] f^{\prime}(x) & = & \left(\dfrac{5x^{2} - x}{3x^{4} - 2}\right)^{\prime} & \text{Definición} \\[4pt] f^{\prime}(x) & = & \dfrac{\left(5x^{2} - x\right)^{\prime} \cdot \left(3x^{4} - 2\right) - \left(5x^{2} - x\right) \cdot \left(3x^{4} - 2\right)^{\prime}}{\left(3x^{4} - 2\right)^{2}} & \text{Derivada de un cociente} \\[4pt] f^{\prime}(x) & = & \dfrac{\left(10x - 1\right) \cdot \left(3x^{4} - 2\right) - \left(5x^{2} - x\right) \cdot 12x^{3}}{\left(3x^{4} - 2\right)^{2}} & u^{\prime} = 10x - 1,\quad v^{\prime} = 12x^{3}\end{array}](local/cache-TeX/d4ffb1d7c62c43312fa362369afd0303.png "\displaystyle \begin{array}{rcl@{\quad}l}f(x) & = & \dfrac{5x^{2} - x}{3x^{4} - 2} & \\[4pt] f^{\prime}(x) & = & \left(\dfrac{5x^{2} - x}{3x^{4} - 2}\right)^{\prime} & \text{Definición} \\[4pt] f^{\prime}(x) & = & \dfrac{\left(5x^{2} - x\right)^{\prime} \cdot \left(3x^{4} - 2\right) - \left(5x^{2} - x\right) \cdot \left(3x^{4} - 2\right)^{\prime}}{\left(3x^{4} - 2\right)^{2}} & \text{Derivada de un cociente} \\[4pt] f^{\prime}(x) & = & \dfrac{\left(10x - 1\right) \cdot \left(3x^{4} - 2\right) - \left(5x^{2} - x\right) \cdot 12x^{3}}{\left(3x^{4} - 2\right)^{2}} & u^{\prime} = 10x - 1,\quad v^{\prime} = 12x^{3}\end{array}")
![\displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{rcl@{\quad}l}f(x) & = & \dfrac{\left(3x^{4} + 4\right)^{3}}{5x^{3} - x} & \\[4pt] f^{\prime}(x) & = & \left(\dfrac{\left(3x^{4} + 4\right)^{3}}{5x^{3} - x}\right)^{\prime} & \text{Definición} \\[4pt] f^{\prime}(x) & = & \dfrac{3\left(3x^{4} + 4\right)^{2} \cdot 12x^{3} \cdot \left(5x^{3} - x\right) - \left(3x^{4} + 4\right)^{3} \cdot \left(5x^{3} - x\right)^{\prime}}{\left(5x^{3} - x\right)^{2}} & \text{Derivada de un cociente} \\[4pt] f^{\prime}(x) & = & \dfrac{3\left(3x^{4} + 4\right)^{2} \cdot 12x^{3} \cdot \left(5x^{3} - x\right) - \left(3x^{4} + 4\right)^{3} \cdot \left(15x^{2} - 1\right)}{\left(5x^{3} - x\right)^{2}} & v^{\prime} = 15x^{2} - 1\end{array} \\[20pt]\text{Cálculo auxiliar de }u^{\prime}: \\[2pt]\quad \begin{array}{rcl@{\quad}l}u & = & \left(3x^{4} + 4\right)^{3} & \\[4pt] u^{\prime} & = & \left(\left(3x^{4} + 4\right)^{3}\right)^{\prime} & \text{Definición} \\[4pt] u^{\prime} & = & 3\left(3x^{4} + 4\right)^{3 - 1} \cdot \left(3x^{4} + 4\right)^{\prime} & \text{Derivada de una potencia (regla de la cadena)} \\[4pt] u^{\prime} & = & 3\left(3x^{4} + 4\right)^{3 - 1} \cdot 12x^{3} & u^{\prime} = 12x^{3} \\[4pt] u^{\prime} & = & 3\left(3x^{4} + 4\right)^{2} \cdot 12x^{3} & \text{Simplificamos}\end{array}\end{array}](local/cache-TeX/cb622f9bd8bfd22b4d427132fd33c25c.png "\displaystyle \begin{array}{l}\begin{array}{rcl@{\quad}l}f(x) & = & \dfrac{\left(3x^{4} + 4\right)^{3}}{5x^{3} - x} & \\[4pt] f^{\prime}(x) & = & \left(\dfrac{\left(3x^{4} + 4\right)^{3}}{5x^{3} - x}\right)^{\prime} & \text{Definición} \\[4pt] f^{\prime}(x) & = & \dfrac{3\left(3x^{4} + 4\right)^{2} \cdot 12x^{3} \cdot \left(5x^{3} - x\right) - \left(3x^{4} + 4\right)^{3} \cdot \left(5x^{3} - x\right)^{\prime}}{\left(5x^{3} - x\right)^{2}} & \text{Derivada de un cociente} \\[4pt] f^{\prime}(x) & = & \dfrac{3\left(3x^{4} + 4\right)^{2} \cdot 12x^{3} \cdot \left(5x^{3} - x\right) - \left(3x^{4} + 4\right)^{3} \cdot \left(15x^{2} - 1\right)}{\left(5x^{3} - x\right)^{2}} & v^{\prime} = 15x^{2} - 1\end{array} \\[20pt]\text{Cálculo auxiliar de }u^{\prime}: \\[2pt]\quad \begin{array}{rcl@{\quad}l}u & = & \left(3x^{4} + 4\right)^{3} & \\[4pt] u^{\prime} & = & \left(\left(3x^{4} + 4\right)^{3}\right)^{\prime} & \text{Definición} \\[4pt] u^{\prime} & = & 3\left(3x^{4} + 4\right)^{3 - 1} \cdot \left(3x^{4} + 4\right)^{\prime} & \text{Derivada de una potencia (regla de la cadena)} \\[4pt] u^{\prime} & = & 3\left(3x^{4} + 4\right)^{3 - 1} \cdot 12x^{3} & u^{\prime} = 12x^{3} \\[4pt] u^{\prime} & = & 3\left(3x^{4} + 4\right)^{2} \cdot 12x^{3} & \text{Simplificamos}\end{array}\end{array}")