Ecuaciones irracionales 2768

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Resuelve la ecuación x + \sqrt{2x} = 4

SOLUCIÓN

x + \sqrt{2x} = 4


En primer lugar debemos aislar la raíz (dejarla sola a uno de los lados del signo igual)

\sqrt{2x} = 4 - x


Ahora elevamos al cuadrado para que desaparezca la raiz

\left( \cancel{\sqrt}{\overline{2x}} \right)\cancel{^2}= (4 - x)^2


2x= (4 - x)^2


Aplicamos las fórmulas de los productos notables

2x= (4)^2 +(x)^2 - 2 \cdot 4 \cdot x


2x= 16 +x^2 - 8x


Obtenemos una ecuación de segundo grado que debemos ordenar

-x^2+10x - 16 =0


Aplicamos la fórmula de las ecuaciones de segundo grado

\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{-10+6}{-2}=2\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-10\pm \sqrt{10^2-4 \cdot(-1)\cdot(-16)}}{2 \cdot(-1)}= \frac{-10\pm \sqrt{36}}{-2}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{-10-6}{-2}=8\end{array}


En las ecuaciones irracionales siempre hay que verificar las soluciones:
x + \sqrt{2x} = 4
– Para x=2
2 + \sqrt{2 \cdot 2} = 4
2 + 2 = 4 CORRECTO

– Para x=8
8 + \sqrt{2 \cdot 8} = 4
8 +4 \neq 4 FALSO

Por tanto la única solución de la ecuación es \fbox{x=2}