Ejercicio Integrales

Resuelve la integral:

$\int x \cdot arc \: tg \: x \: dx$

SOLUCIÓN

Por partes:

$\displaystyle\int x \cdot \text{arc tg}(x)\,dx$

Fórmula:

$\int u\,dv = u\cdot v - \int v\,du$

Por partes: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ :

$u = \text{arc tg}\left(x\right) \longrightarrow du = \dfrac{1}{1 + x^{2}}\,dx$

$dv = x\,dx \longrightarrow v = \dfrac{1}{2}x^{2}$

Aplicamos la fórmula:

$= \dfrac{1}{2}x^{2}\text{arc tg}\left(x\right) - \displaystyle\int \dfrac{1}{2}x^{2}\cdot \dfrac{1}{1 + x^{2}}\,dx$

$= \dfrac{1}{2}x^{2}\text{arc tg}\left(x\right) - \left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\text{arc tg}\,x\right) + C$