Estadística. Desviación típica

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Se ha llevado a cabo un control de velocidad en una carretera de la comunidad de Madrid y se ha obtenido los siguientes datos

Velocidad 70 80 90 100 110 120
Nº coches 5 19 17 35 22 17

– Cree una tabla estadística completa de frecuencias
– Calcule la media y la desviación típica
– ¿Qué porcentaje circula a mas de 90 km/h.?

Exprese los resultados con una aproximación a la centesima

SOLUCIÓN

Creamos una tabla de frecuencias completa donde x_i son las velocidades y f_i el número de coches

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}x_i & f_i & F_i & h_i & H_i & p_i & P_i \\ \hline70 & 5 & 5 & \frac{5}{115} & \frac{5}{115} & 4.35\% & 4.35\%\\\hline80 & 19 & 24 & \frac{19}{115} & \frac{24}{115} & 16.52\% & 20.87\%\\\hline90 & 17 & 41 & \frac{17}{115} & \frac{41}{115} & 14.78\% & 35.65\%\\\hline100 & 35 & 76 & \frac{35}{115} & \frac{76}{115} & 30.43\% & 66.09\%\\\hline110 & 22 & 98 & \frac{22}{115} & \frac{98}{115} & 19.13\% & 85.22\%\\\hline120 & 17 & 115 & \frac{17}{115} & \frac{115}{115} & 14.78\% & 100\%\\\hline & N=115& & & & & & \\\end{array}

Cálculo la media aritmética: \overline{x} = \frac{\sum x_i \cdot f_i}{N}

\overline{x}=\frac{70 \cdot 5 + 80 \cdot 19 + 90 \cdot 17 + 100 \cdot 35 + 110 \cdot 22 + 120 \cdot 17}{115}= \frac{11360}{115}= \fbox{98.78}

Para calcular la desviación típica necesitamos calcular antes la varianza

Para calcular la varianza usaremos la fórmula:

s^2 = \frac{\sum x_i^2 \cdot f_i}{N} - \overline{x}^2

s^2 = \frac{70^2\cdot 5 + 80^2 \cdot 19 + 90^2 \cdot 17 + 100^2 \cdot 35+110^2 \cdot22 + 120^2 \cdot 17}{115} - (98.78)^2

s^2 = \frac{1144800}{115}- (98.78)^2 = 197.29

la desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza.
La desviación típica se representa por \sigma

\sigma = + \sqrt{s^2}

\sigma = + \sqrt{197.29}=14.05

¿Qué porcentaje circula a mas de 90 km/h.?

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}x_i & f_i & F_i & h_i & H_i & p_i & P_i \\ \hline70 & 5 & 5 & \frac{5}{115} & \frac{5}{115} & 4.35\% & 4.35\%\\\hline80 & 19 & 24 & \frac{19}{115} & \frac{24}{115} & 16.52\% & 20.87\%\\\hline90 & 17 & 41 & \frac{17}{115} & \frac{41}{115} & 14.78\% & \textcolor{red}{35.65\%}\\\hline100 & 35 & 76 & \frac{35}{115} & \frac{76}{115} & 30.43\% & 66.09\%\\\hline110 & 22 & 98 & \frac{22}{115} & \frac{98}{115} & 19.13\% & 85.22\%\\\hline120 & 17 & 115 & \frac{17}{115} & \frac{115}{115} & 14.78\% & 100\%\\\hline & N=115& & & & & & \\\end{array}


Si miramos la última columna (porcentajes acumulados), vemos, en rojo, que circulan a 90 o menos el 35.65%
Entonces, a más de 90 km/h circularán 100 - 35.65 = \fbox{64.35\%}