Funciones - Monotonía y Extremos

|

Determina la monotonía y los extremos relativos de la función f(x) = x^3-3x^2-1

SOLUCIÓN

f\textsc{\char13}(x) = 3x^2-6x
f\textsc{\char13}(x) = 0 \Rightarrow 3x^2-6x=0 \Rightarrow x=0 ; x=2

Las soluciones x=0 y x=2 dividen a la recta en 3 intervalos:
(-\infty,0) \qquad (0,2) \qquad (2, +\infty)

Analizamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos. Para ello tomamos un punto de cada intervalo y comprobamos el signo de la derivada:

– f\textsc{\char13}(-1)=3(-1)^2-6(-1) = 9 > 0 \Rightarrow f CRECE en (-\infty,0)
– f\textsc{\char13}(1)=3(+1)^2-6(+1) = -3 > 0 \Rightarrow f DECRECE en (0,2)
– f\textsc{\char13}(3)=3(3)^2-6(3) = 9 > 0 \Rightarrow f CRECE en (2, +\infty)

Es una función polinómica y por tanto es continua en todo R. Esto, junto con el estudio de la monotonía, nos indica que hay un máximo en x=0 y un mínimo en x=2.
Calculamos la segunda coordenada (del máximo y del mínimo) usando la función original:

– f(0)=-1 \Rightqrrow MÁXIMO en (0,-1)
– f(2)=-5 \Rightqrrow MÍNIMO en (2,-5)