PAU · Andalucía · 2003 · mat_ii_2003_2 · Análisis · EJERCICIO B2
En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo ![[0,2]](local/cache-TeX/70fd3f388413505934da60b43afc4088.png "[0,2]"){kind=small}
la gráfica de la parábola de ecuación 
. Halla el valor de 
para el que las áreas de las superficies rayadas son iguales.
[FIGURA: Gráfica de la parábola en el intervalo , con dos regiones sombreadas: una entre 
y 
, y otra entre 
y 
, donde se indica un punto entre 1 y 2]
SOLUCIÓN
Es una función polinómica, por tanto su dominio es 
(todos los números reales).
Corte con el eje 
: hacemos 
. 
, luego el punto es 
.
Corte con el eje 
: hacemos 
, es decir, resolvemos 
.
Ecuación de segundo grado 
:
Con 
:
El discriminante 
: raíz doble.
Cortes con el eje : .
Comparamos 
con 
: si 
es PAR (simétrica respecto al eje ); si 
es IMPAR (simétrica respecto al origen).
Todos los términos tienen grado par, así que : la función es PAR.
Es una función polinómica, que es continua en todo .
No hay asíntotas verticales.
El grado del numerador supera en más de uno al del denominador: no hay asíntota horizontal ni oblicua.
No hay asíntotas horizontales ni oblicuas.
Derivamos término a término con la regla de la potencia 
:
Derivamos la primera derivada (ya simplificada) para obtener 
:
Una función crece donde su derivada cumple 
y decrece donde 
. Buscamos primero los puntos donde 
(la derivada calculada en el paso anterior), que son los posibles cambios de crecimiento:
Resolvemos numéricamente.
Puntos donde :
Con estos puntos (y teniendo en cuenta el dominio) dividimos la recta en intervalos.
Estos son los intervalos a estudiar:
En cada intervalo tomamos un punto de prueba y evaluamos 
para ver su signo:
En 
tomamos 
: 
→ 
.
En 
tomamos 
: 
→ 
.
Con los signos obtenidos completamos la tabla:
En cada punto crítico 
evaluamos la segunda derivada: si 
hay un mínimo; si 
, un máximo.
En calculamos 
. Al ser positiva, hay un MÍNIMO relativo.
La segunda coordenada se obtiene sustituyendo en la función original (no en las derivadas): , por lo que el mínimo está en el punto .
Resumen:
Mínimo relativo: .
Estudiamos el signo de : donde 
la función es convexa 
y donde 
es cóncava 
.
Buscamos los posibles cambios de concavidad resolviendo 
(la segunda derivada calculada en el paso anterior):
El polinomio 
es constante y no nulo: nunca se anula. No hay puntos críticos.No hay puntos donde en el dominio.
Como no hay puntos con ni puntos excluidos del dominio, la concavidad no cambia en todo .
Estos son los intervalos a estudiar:
En cada intervalo tomamos un punto de prueba y evaluamos para ver su signo:
En 
tomamos : 
→ 
.
Con los signos obtenidos completamos la tabla:
Un punto de inflexión es donde 
cambia de signo (cambia la concavidad).
No hay candidatos ( no tiene solución en el dominio): no hay puntos de inflexión.
