PAU · Andalucía · 2003 · mat_ii_2003_6 · Análisis · EJERCICIO B1
De entre todos los rectángulos que tienen uno de sus vértices en el origen de coordenadas, el opuesto de este vértice en la curva 
, uno de sus lados situado sobre el semieje positivo de abscisas y otro lado sobre el semieje positivo de ordenadas, halla el que tiene área mínima.
SOLUCIÓN
Necesitamos recordar algunos conocimientos previos:
- Área del rectángulo: Base · Altura:
- Coordenadas de un punto en la curva:
con 
Datos del problema:
- El rectángulo tiene vértices en el origen
y en un punto de la curva. - Los lados están sobre los ejes positivos.
- La función a minimizar es el área del rectángulo.
La función a minimizar (el área) depende de las coordenadas 
e 
.
Debemos expresarlo con una sola variable.
Para ello, sustituimos la expresión de en la fórmula del área.
Simplificando nos queda la función de una sola variable:
Para buscarle un mínimo debemos igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación. Las soluciones serán los candidatos a máximos y mínimos.
Aplicamos la regla del cociente para derivar: 
Sea 
Sea 
Desarrollamos el numerador:
Queda:
Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:
Factorizamos 
:
Las soluciones son:
(no está en el dominio 
)
Como el enunciado indica , descartamos la solución negativa y la cero.
Nos queda el candidato:
Para confirmar que es un mínimo, podemos usar la segunda derivada o analizar el signo de la primera derivada alrededor de 
.
Dado que para , el denominador 
es siempre positivo, el signo de 
depende del numerador 
.
Si 
, entonces 
, luego 
y la derivada es negativa (función decreciente).
Si 
, entonces 
, luego 
y la derivada es positiva (función creciente).
Por tanto, en hay un MÍNIMO.
Ya conocemos la base del rectángulo .
Ahora calculamos la altura sustituyendo en la ecuación de la curva:
El rectángulo tiene base y altura 
.
El área mínima es:
