PAU · Andalucía · 2015 · mat_soc_2015_5 · Programación Lineal · EJERCICIO B1
Sea el siguiente conjunto de inecuaciones:
a) Dibuje el recinto del plano determinado por estas inecuaciones.
b) Determine los vértices de este recinto.
c) Maximice la función 
en este recinto, indicando el punto o puntos donde se alcanza ese máximo.
SOLUCIÓN
Restricciones
Función objetivo
Paso 1 de 10
Inecuación 1:
Inecuación 1:
La recta frontera 
es vertical. Línea continua.
es vertical. Línea continua.
Paso 2 de 10
Semiplano de
Semiplano de
Por ser una recta vertical no hace falta punto de prueba: sombreamos el semiplano a la derecha de .
Esta es la solución provisional con la primera inecuación.
.Esta es la solución provisional con la primera inecuación.
Paso 3 de 10
Inecuación 2:
Inecuación 2:
Partimos de la solución provisional (región sombreada).
La recta frontera
es horizontal. Línea continua.
Por ser una recta horizontal no hace falta punto de prueba: sombreamos el semiplano superior a.
La recta frontera
es horizontal. Línea continua.Por ser una recta horizontal no hace falta punto de prueba: sombreamos el semiplano superior a
.
Paso 4 de 10
Solución provisional (inec. 1–2)
Solución provisional (inec. 1–2)
La solución provisional de las 2 primeras inecuaciones es la región sombreada. Continuamos desde aquí.
Paso 5 de 10
Inecuación 3:
Inecuación 3:
Partimos de la solución provisional (región sombreada).
La recta frontera de es 
.
Si ⟶ 
⟶ 
⟶ 
. Punto 
.
Si ⟶ 
⟶ 
. Punto 
.
Dibujamos la recta con línea continua.
Probamos el punto
: 
→ se cumple.
Sombreamos el semiplano que contiene.
La recta frontera de
es .Si
⟶ ⟶ ⟶ . Punto .Si
⟶ ⟶ . Punto .Dibujamos la recta con línea continua.
Probamos el punto
: → se cumple.Sombreamos el semiplano que contiene
.
Paso 6 de 10
Solución provisional (inec. 1–3)
Solución provisional (inec. 1–3)
La solución provisional de las 3 primeras inecuaciones es la región sombreada. Continuamos desde aquí.
Paso 7 de 10
Inecuación 4:
Inecuación 4:
Partimos de la solución provisional (región sombreada).
La recta frontera de es 
.
Si ⟶ 
⟶ 
⟶ 
. Punto 
.
Si ⟶ 
⟶ 
⟶ 
. Punto 
.
Dibujamos la recta con línea continua.
Probamos el punto: 
→ no se cumple.
Sombreamos el semiplano contrario a.
La recta frontera de
es .Si
⟶ ⟶ ⟶ . Punto .Si
⟶ ⟶ ⟶ . Punto .Dibujamos la recta con línea continua.
Probamos el punto
: → no se cumple.Sombreamos el semiplano contrario a
.
Paso 8 de 10
Solución provisional (inec. 1–4)
Solución provisional (inec. 1–4)
La solución provisional de las 4 primeras inecuaciones es la región sombreada. Continuamos desde aquí.
Paso 9 de 10
Inecuación 5:
Inecuación 5:
Partimos de la solución provisional (región sombreada).
La recta frontera de es 
.
Si ⟶ 
⟶ 
⟶ 
. Punto 
.
Si ⟶ 
⟶ 
. Punto 
.
Dibujamos la recta con línea continua.
Probamos el punto: 
→ se cumple.
Sombreamos el semiplano que contiene.
La recta frontera de
es .Si
⟶ ⟶ ⟶ . Punto .Si
⟶ ⟶ . Punto .Dibujamos la recta con línea continua.
Probamos el punto
: → se cumple.Sombreamos el semiplano que contiene
.
Paso 10 de 10
Región factible
Región factible
La región factible es el polígono sombreado, intersección de todos los semiplanos. Vértices: 
, 
, 
, 
.
, , , .
La región factible y sus vértices (vista ampliada)
Cálculo de vértices
Para calcular las coordenadas de un vértice resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas que pasan por dicho vértice.
Vértice A: resolvemos el sistema:
La solución es 
; 
, por tanto 
.
Vértice B: resolvemos el sistema:
La solución es ; , por tanto 
.
Vértice C: resolvemos el sistema:
La solución es ; , por tanto 
.
Vértice D: resolvemos el sistema:
La solución es 
; 
, por tanto .
Función objetivo
Máximo: 
en
Mínimo:
en
en Mínimo:
en