PAU · Andalucía · 2026 · mat_ii_2026_1 · Álgebra · EJERCICIO 3.2

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & 1 \\ 2 & \alpha & \beta \\ 3 & 4 & \alpha \end{pmatrix}$ que cumple $|A| = -2$ .

a) Calcula $\left|\begin{array}{ccc} -3 & -4 & -\alpha \\ \alpha - 2 & \beta - \alpha & 1 - \beta \\ 8 & 4\alpha & 4\beta \end{array}\right|$

b) Calcula $|A^{-1}(A^t)^2 A|$

SOLUCIÓN

Apartado a)

Determinante pedido Escribimos sus líneas con las del determinante que conocemos y aplicamos las propiedades

Las filas del determinante pedido se escriben con las filas de :

Propiedad: Si multiplicamos por un número una línea de un det., el valor del det. también queda multiplicado por dicho número.

Propiedad: Cuando una línea puede descomponerse en suma de dos sumandos, el det. puede descomponerse en una suma de det.

Propiedad: Un det. con dos filas iguales (o dos columnas iguales) vale cero.

Los sumandos con una línea repetida valen 0, así que se van:

Propiedad: Si en un det. intercambiamos dos líneas (filas o columnas) el det. cambia de signo

Aquí hacen falta dos intercambios para dejar las líneas en su orden, así que el signo cambia dos veces y se queda como estaba.

Apartado b)

Determinante de

Aplicamos las propiedades de los determinantes

Propiedad: El det. de la matriz inversa es el inverso del det. de la matriz original

Propiedad: El det. de una matriz es igual al det. de su traspuesta

Propiedad: El det. de un producto de matrices es igual al producto de los det. de ambas matrices