PAU · Andalucía · 2026 · mat_soc_2026_3 · Análisis · EJERCICIO 2B
Se considera la función 
.
a) Halle su dominio y determine sus asintotas.
b) Estudie la monotonía y la curvatura, calculando los extremos relativos y los puntos de inflexión.
c) Represente gráficamente 
.
d) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en todos aquellos puntos donde la pendiente de dicha recta vale 
.
SOLUCIÓN
Apartado a)
Estudio de la función:
Paso 1 · Dominio
El dominio es la intersección de los dominios de las funciones simples que la componen.
Dominio de 
:
La función está definida para todo 
.
Dominio de 
:
Es una función polinómica, por tanto su dominio es (todos los números reales).
Dominio de 
:
Es una función polinómica, por tanto su dominio es (todos los números reales).
El dominio de 
es la intersección de los anteriores:
Por ser un cociente, el denominador no puede ser cero; se anula en 
, valor que excluimos:
Paso 2 · Asíntotas
Asíntotas verticales: en los puntos que no pertenecen al dominio comprobamos los límites laterales.
Hay asíntota vertical en .
Estudiamos 
: hay asíntota horizontal 
(por la derecha).
Estudiamos 
: hay asíntota horizontal (por la izquierda).
Apartado b)
Paso 3 · Derivadas
Es decir, 
.
Es decir, 
.
Paso 4 · Monotonía (crecimiento y decrecimiento)
Una función crece donde su derivada cumple 
y decrece donde 
. Buscamos primero los puntos donde 
(la derivada calculada en el paso anterior), que son los posibles cambios de crecimiento:
Resolvemos numéricamente.
No hay puntos donde en el dominio.
Para dividir la recta en intervalos no usamos solo los puntos donde : también hay que tener en cuenta los puntos que NO pertenecen al dominio (), donde la función no está definida.
Estos son los intervalos a estudiar:
En cada intervalo tomamos un punto de prueba y evaluamos 
para ver su signo:
En 
tomamos 
: 
→ 
.
En 
tomamos 
: 
→ .
Con los signos obtenidos completamos la tabla:
Paso 5 · Extremos relativos (criterio de la 2ª derivada)
En cada punto crítico 
evaluamos la segunda derivada: si 
hay un mínimo; si 
, un máximo.
No hay puntos críticos, por lo que la función no tiene máximos ni mínimos relativos.
Paso 6 · Concavidad y convexidad
Estudiamos el signo de 
: donde 
la función es convexa 
y donde 
es cóncava 
.
Buscamos los posibles cambios de concavidad resolviendo 
(la segunda derivada calculada en el paso anterior):
Resolvemos numéricamente (cambio de signo de 
):
No hay puntos donde en el dominio.
Para dividir la recta en intervalos, además de los puntos donde hay que tener en cuenta los puntos que NO pertenecen al dominio (), donde la función no está definida.
Estos son los intervalos a estudiar:
En cada intervalo tomamos un punto de prueba y evaluamos para ver su signo:
En tomamos : 
→ 
.
En tomamos : 
→ 
.
Con los signos obtenidos completamos la tabla:
Paso 7 · Puntos de inflexión
Un punto de inflexión es donde cambia de signo (cambia la concavidad).
No hay candidatos ( no tiene solución en el dominio): no hay puntos de inflexión.
Apartado c)
Paso 8 · Puntos de corte con los ejes
Corte con el eje 
: hacemos . 
, luego el punto es 
.
Corte con el eje 
: hacemos , es decir, resolvemos 
.
La función no corta al eje .
Paso 9 · Simetrías
El dominio no es simétrico respecto al origen, por lo que la función no puede ser par ni impar.
Paso 10 · Continuidad
La función es continua en todo su dominio.
Presenta discontinuidades en los puntos que no pertenecen al dominio: .
Apartado d)
en 
en 
