PAU · Andalucía · 2026 · mat_soc_2026_3 · Programación Lineal · EJERCICIO 1
Una empresa fabrica dos productos, 
y 
, a partir de tres recursos productivos: mano de obra, energía y capital. La disponibilidad anual de energía y de capital son 3500 unidades y 1300 unidades respectivamente. Para poder optar a una ayuda del gobierno para el fomento del empleo, la empresa va a contratar, al menos, 4200 horas anuales. Cada unidad de necesita para su fabricación 10 horas de mano de obra, 10 unidades de energía y 5 unidades de capital; siendo el precio de cada unidad de 800 euros. Cada unidad de necesita para su fabricación 20 horas de mano de obra y 5 unidades de energía; vendiéndose a 400 euros la unidad de . La empresa vende todo lo que produce y quiere maximizar sus ingresos anuales por la venta de los dos productos.
a) ¿Cuántas unidades de cada producto han de fabricarse anualmente para maximizar los ingresos? ¿Cuál es dicho ingreso óptimo?
b) ¿Es posible alcanzar el máximo elaborando un único producto?
SOLUCIÓN
— número de unidades del producto 
que se fabrican anualmente.
— número de unidades del producto 
que se fabrican anualmente.
Se busca MAXIMIZAR los ingresos anuales totales, dados por el precio de venta de cada producto multiplicado por su cantidad:
- La energía utilizada no puede superar las 3500 unidades disponibles (10 para y 10 para ):
- El capital utilizado no puede superar las 1300 unidades disponibles (5 para y 0 para ):
- Las horas de mano de obra contratadas deben ser al menos 4200 (10 para y 20 para ):
- No se pueden fabricar cantidades negativas de productos:
- →
- →
- →
Inecuación 1:
es vertical. Línea continua.
Semiplano de
.Esta es la solución provisional con la primera inecuación.
Inecuación 2:
La recta frontera
es vertical. Línea continua.Por ser una recta vertical no hace falta punto de prueba: sombreamos el semiplano a la derecha de
.
Solución provisional (inec. 1–2)
Inecuación 3:
La recta frontera
es horizontal. Línea continua.Por ser una recta horizontal no hace falta punto de prueba: sombreamos el semiplano superior a
.
Solución provisional (inec. 1–3)
Inecuación 4:
La recta frontera de
es 
.Si
⟶ 
⟶ 
. Punto 
.Si
⟶ 
⟶ 
. Punto 
.Dibujamos la recta con línea continua.
Probamos el punto
: 
→ se cumple.Sombreamos el semiplano que contiene
.
Solución provisional (inec. 1–4)
Inecuación 5:
La recta frontera de
es 
.Si
⟶ 
⟶ 
⟶ 
. Punto 
.Si
⟶ 
⟶ 
. Punto 
.Dibujamos la recta con línea continua.
Probamos el punto
: 
→ no se cumple.Sombreamos el semiplano contrario a
.
Región factible
, 
, 
, 
.
Para calcular las coordenadas de un vértice resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas que pasan por dicho vértice.
La solución es ; 
, por tanto 
.
La solución es ; 
, por tanto 
.
La solución es ; , por tanto 
.
La solución es ; , por tanto 
.
en Mínimo:
en