Préstamos. Matemática financiera

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Queremos pedir un préstamo y tenemos las ofertas de dos bancos:

Banco 1
– Capital préstamo: €
– Interés anual: $3 \%$
– Periodo de pago: Mensual
– Tiempo: 11 años
– Gastos y comisiones: €

Banco 2
– Capital préstamo: €
– Interés anual: $4 \%$
– Periodo de pago: Anual
– Tiempo: 7 años
– Gastos y comisiones: €

– ¿Qué cuota tendríamos que pagar en cada caso? Recuerda que en el primer banco el pago será mensual y en el segundo banco la cuota será anual.

– Cuando terminamos de pagar todo el préstamo, ¿qué banco nos ha ofrecido el producto más rentable?

– Si lo que nos interesa es pagar cada año lo menos posible, ¿qué opción elegiremos?

Aparte del préstamo que queremos pedir, disponemos de € para posibles imprevistos que colocamos en un depósito que nos ofrece un interés compuesto del $4\%$ , en periodos mensuales. Después de 7 años, ¿qué capital final obtendremos? Calcula la tasa anual equivalente (TAE).

SOLUCIÓN

Debemos usar las fórmulas de Financiación

Para el primer banco aplicamos la fórmula
$m = C \cdot \frac{\left( 1+\frac{r}{1200} \right)^t}{\left( 1+\frac{r}{1200} \right)^t -1} \cdot \frac{r}{1200}$

Que aplicada a nuestros datos sería:

$m = 50000 \cdot \frac{\left( 1+\frac{3}{1200} \right)^{11 \cdot 12}}{\left( 1+\frac{3}{1200} \right)^{11 \cdot 12} -1} \cdot \frac{3}{1200}$

$m = 50000 \cdot \frac{\left( 1+\frac{3}{1200} \right)^{132}}{\left( 1+\frac{3}{1200} \right)^{132} -1} \cdot \frac{3}{1200}$

$m = 50000 \cdot \frac{1.390395427}{1.390395427-1} \cdot \frac{3}{1200}$

$m = \frac{50000 \cdot 1.390395427 \cdot 3}{0.390395427 \cdot 1200}$

$m = \frac{208559.313981492}{468.4745124} = \fbox{445.19}$ € mensuales

Para el segundo banco aplicamos la fórmula:

$a = C \cdot \frac{\left( 1+\frac{r}{100} \right)^t}{\left( 1+\frac{r}{100} \right)^t -1} \cdot \frac{r}{100}$

Con nuestros datos será:

$a = 50000 \cdot \frac{\left( 1+\frac{4}{100} \right)^7}{\left( 1+\frac{4}{100} \right)^7 -1} \cdot \frac{4}{100}$

$a = \frac{50000 \cdot 1.315931779 \cdot 4}{0.315931779 \cdot 100} = \fbox{8330.48}$ € anuales

Con el primer banco pagamos $445.19 \cdot 132 + 1200 =59965.08$
Con el segundo banco pagamos $8330.48 \cdot 7 + 1500 = 59813,36$

Por lo que el segundo banco es ligeramente más rentable.

Si queremos pagar lo mínimo al año, nos saldría mejor el banco 1 (independientemente de las comisiones)

Banco 1: $445.19 \cdot 12 = 5342.28$
Banco 2:

Para el depósito usaremos las fórmulas de interés compuesto

Para nuestro caso, como los periodos son mensuales usaríamos la fórmula:

$C = c \cdot \left( 1 + \frac{r}{1200} \right)^t$

$C = 6500 \cdot \left( 1 + \frac{4}{1200} \right)^{7 \cdot 12} = 8596.34$

Para calcular la TAE usamos las fómulas de TAE

En nuestro caso será:

$TAE = \left( 1 + \frac{0.04}{12} \right) ^{12} -1 = 0.040741543$

La TAE es del $4.07 \%$