Préstamos. Matemática financiera

Queremos pedir un préstamo y tenemos las ofertas de dos bancos:

Banco 1
 Capital préstamo: 50000
 Interés anual: 3 \%
 Periodo de pago: Mensual
 Tiempo: 11 años
 Gastos y comisiones: 1200

Banco 2
 Capital préstamo: 50000
 Interés anual: 4 \%
 Periodo de pago: Anual
 Tiempo: 7 años
 Gastos y comisiones: 1500

 ¿Qué cuota tendríamos que pagar en cada caso? Recuerda que en el primer banco el pago será mensual y en el segundo banco la cuota será anual.

 Cuando terminamos de pagar todo el préstamo, ¿qué banco nos ha ofrecido el producto más rentable?

 Si lo que nos interesa es pagar cada año lo menos posible, ¿qué opción elegiremos?

Aparte del préstamo que queremos pedir, disponemos de 6500 € para posibles imprevistos que colocamos en un depósito que nos ofrece un interés compuesto del 4\%, en periodos mensuales. Después de 7 años, ¿qué capital final obtendremos? Calcula la tasa anual equivalente (TAE).

SOLUCIÓN

Debemos usar las fórmulas de Financiación

Para el primer banco aplicamos la fórmula
m = C \cdot \frac{\left( 1+\frac{r}{1200} \right)^t}{\left( 1+\frac{r}{1200} \right)^t -1} \cdot \frac{r}{1200}

Que aplicada a nuestros datos sería:

m = 50000 \cdot \frac{\left( 1+\frac{3}{1200} \right)^{11 \cdot 12}}{\left( 1+\frac{3}{1200} \right)^{11 \cdot 12} -1} \cdot \frac{3}{1200}

m = 50000 \cdot \frac{\left( 1+\frac{3}{1200} \right)^{132}}{\left( 1+\frac{3}{1200} \right)^{132} -1} \cdot \frac{3}{1200}

m = 50000 \cdot \frac{1.390395427}{1.390395427-1} \cdot \frac{3}{1200}

m = \frac{50000 \cdot 1.390395427 \cdot 3}{0.390395427 \cdot 1200}

m = \frac{208559.313981492}{468.4745124} = \fbox{445.19} € mensuales

Para el segundo banco aplicamos la fórmula:

a = C \cdot \frac{\left( 1+\frac{r}{100} \right)^t}{\left( 1+\frac{r}{100} \right)^t -1} \cdot \frac{r}{100}

Con nuestros datos será:

a = 50000 \cdot \frac{\left( 1+\frac{4}{100} \right)^7}{\left( 1+\frac{4}{100} \right)^7 -1} \cdot \frac{4}{100}

a = \frac{50000 \cdot 1.315931779 \cdot 4}{0.315931779 \cdot 100} = \fbox{8330.48} € anuales

Con el primer banco pagamos 445.19 \cdot 132 + 1200 =59965.08
Con el segundo banco pagamos 8330.48 \cdot 7 + 1500 = 59813,36

Por lo que el segundo banco es ligeramente más rentable.

Si queremos pagar lo mínimo al año, nos saldría mejor el banco 1 (independientemente de las comisiones)

Banco 1: 445.19 \cdot 12 = 5342.28
Banco 2: 8330.48

Para el depósito usaremos las fórmulas de interés compuesto

Para nuestro caso, como los periodos son mensuales usaríamos la fórmula:

C = c \cdot \left( 1 + \frac{r}{1200} \right)^t

C = 6500 \cdot \left( 1 + \frac{4}{1200} \right)^{7 \cdot 12} = 8596.34

Para calcular la TAE usamos las fómulas de TAE

En nuestro caso será:

TAE = \left( 1 + \frac{0.04}{12} \right) ^{12} -1 = 0.040741543

La TAE es del 4.07 \%