Selectividad Andalucía 2016-Junio-B3

En una encuesta sobre la nacionalidad de los veraneantes en un municipio de la costa andaluza, se ha observado que el 40\% de los encuestados son españoles y el 60\% extranjeros, que el 30\% de los españoles y el 80\% de los extranjeros residen en un hotel y el resto en otro tipo de residencia.
Se elige al azar un veraneante del municipio.
 a) ¿Cuál es la probabilidad de que no resida en un hotel?
 b) Si no reside en un hotel, ¿cuál es la probabilidad de que sea español?
 c) ¿Son independientes los sucesos “ser extranjero” y “residir en un hotel”?

SOLUCIÓN

a) Nos piden la probabilidad de H^c
Sumamos todas las rutas que acaban en H^c
P(H^c)=0.40 \cdot 0.70 + 0.60 \cdot 0.20 = \fbox{0.40}

b) Recordemos que las expresiones "sabiendo que" o "si" equivalen a una condicionada "/"
P(Español "sabiendo que" no Hotel) = P (E/H^c)
Aplicamos la fórmula de la propbabilidad condicionada

P (E/H^c) = \frac{P(E \cap H^c)}{P(H^c)}
Para calcular el numerador miramos el diagrama de árbol y usamos la ruta
\longrightarrow E \longrightarrow H^c
El denominador lo hemos calculado en el apartado anterior

P (E/H^c) = \frac{P(E \cap H^c)}{P(H^c)} = \frac{0.40 \cdot 0.70}{0.40}=\fbox{0.70}

c) A y B independientes \Longleftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
En nuestro caso:
E^c y H independientes \Longleftrightarrow P(E^c \cap H) = P(E^c) \cdot P(H)
Veamos si se cumple la igualdad:
Para calcular P(E^c \cap H) usamos la ruta del diagrama de árbol
P(E^c \cap H)=0.60 \cdot 0.80 = 0.48
En el otro lado del signo igual tenemos:
P(E^c) \cdot P(H) = 0.60 \cdot 0.60 = 0.36
Por tanto, no obtenemos el mismo resultado
0.48 \neq 0.36
P(E^c \cap H) \neq P(E^c) \cdot P(H) \Longleftrightarrow No son independientes.