ecuaciones logaritmicas

ecuaciones Ejercicios_Resueltos logaritmos

Resuelve la ecuación: $\ln (5-x) + \ln(2x-3) = \ln 5$

SOLUCIÓN

Ecuación logarítmica:

$\ln (5-x) + \ln(2x-3) = \ln 5$

Aplicamos la propiedad del producto en el primer miembro:

$\ln((5-x) \cdot (2x-3))=\ln(5)$

Misma base, igualamos los argumentos:

$(5-x) \cdot (2x-3)=5$

Desarrollamos:

$-2x^2+13x-15=5$

$2x^2-13x+20=0$

Aplicamos la fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Con $a=2,\quad b=-13,\quad c=20$ :

$x=\frac{13\pm\sqrt{(-13)^2-4\cdot2\cdot20}}{2\cdot2}=\frac{13\pm\sqrt{9}}{4}$

$\begin{array}{ccc} & & x_1=\frac{13+3}{4}=4\\ & \nearrow & \\x=\frac{13\pm\sqrt{9}}{4} & & \\ & \searrow & \\ & & x_2=\frac{13-3}{4}=\frac{5}{2}\end{array}$

$\boxed{x_1=4}$

$\boxed{x_2=\frac{5}{2}}$

Verificamos que las soluciones obtenidas sean válidas. Si originan el logaritmo de un número negativo, no son válidas en el conjunto de los números reales.

$x_1=4$ : $5-x>0\Rightarrow$ ✓, $2x-3>0\Rightarrow$ ✓, $5>0\Rightarrow$ ✓

$x_2=\frac{5}{2}$ : $5-x>0\Rightarrow$ ✓, $2x-3>0\Rightarrow$ ✓, $5>0\Rightarrow$ ✓

$x\in\{4, \frac{5}{2}\}$

Comentar el ejercicio