funciones gráfica asíntotas dominio corte monotonía extremos

, por dani

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Se trata de una función a trozos.
El primer trozo y=5 es una función constante (horizontal por el 5)
El segundo trozo y=x^2-6x+10 es una función polinómica de segundo grado (su gráfica es una parábola).
Calculamos el vértice:
x=\frac{-b}{2a} \longrightarrow x=\frac{6}{2 \cdot 1}=3
y=3^2-6 \cdot 3+10 = 1
El vértice es el punto (3,1)

Es una parábola convexa (hacia arriba) y por la situación del vértice no va a cortar al eje de abcisas (eje horizontal).
Al eje vertical tampoco lo va a cortar porque está definida entre 2 y 5

Calculamos otros puntos
x=2 \longrightarrow y=2^2-6 \cdot 2+10 = 2
x=4 \longrightarrow y=4^2-6 \cdot 4+10 = 2
x=5 \longrightarrow y=5^2-6 \cdot 5+10 = 5
\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 2 & 2 \\ 4 & 2 \\ 5 & 5 \\ \end{array}

El tercer trozo y=4x-15 es una recta. Nos basta con calcular una par de puntos y dibujarla
\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 5 & 5 \\ 6 & 9 \\ \end{array}

– Dominio: R
– Corte con los ejes: (0,5)
– Asíntotas: no tiene
– Monotonía

(-\infty,2) (2,3) (3, +\infty)
Constante \longrightarrow Decreciente \searrow Creciente \nearrow

– Extremos: Mínimo en (3,1)

Sea la función:

f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 5 & si & x \leq 2 \\ \\ x^2-6x+10 & si & 2 < x < 5 \\ \\ 4x-15 & si & x \geq 5 \end{array} \right.



– a) Representación gráfica
– b) Indica Dominio, Corte con los ejes, Asíntotas, Monotonía y Extremos