funciones gráfica asíntotas dominio corte monotonía extremos

Sea la función:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 5 & si & x \leq 2 \\ \\ x^2-6x+10 & si & 2 < x < 5 \\ \\ 4x-15 & si & x \geq 5 \end{array} \right.$

– a) Representación gráfica
– b) Indica Dominio, Corte con los ejes, Asíntotas, Monotonía y Extremos

SOLUCIÓN

Se trata de una función a trozos.
El primer trozo es una función constante (horizontal por el 5)
El segundo trozo es una función polinómica de segundo grado (su gráfica es una parábola).
Calculamos el vértice:
$x=\frac{-b}{2a} \longrightarrow x=\frac{6}{2 \cdot 1}=3$
$y=3^2-6 \cdot 3+10 = 1$
El vértice es el punto

Es una parábola convexa (hacia arriba) y por la situación del vértice no va a cortar al eje de abcisas (eje horizontal).
Al eje vertical tampoco lo va a cortar porque está definida entre 2 y 5

Calculamos otros puntos
$x=2 \longrightarrow y=2^2-6 \cdot 2+10 = 2$
$x=4 \longrightarrow y=4^2-6 \cdot 4+10 = 2$
$x=5 \longrightarrow y=5^2-6 \cdot 5+10 = 5$
$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 2 & 2 \\ 4 & 2 \\ 5 & 5 \\ \end{array}$