funciones gráfica asíntotas dominio corte monotonía extremos

Sea la función:

 
f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
              5 &   si  & x \leq 2 \\
              \\ x^2-6x+10 &  si & 2 < x < 5 \\
              \\ 4x-15 &  si  & x \geq 5 
              \end{array}
    \right.

- a) Representación gráfica
- b) Indica Dominio, Corte con los ejes, Asíntotas, Monotonía y Extremos

SOLUCIÓN

Se trata de una función a trozos.
El primer trozo y=5 es una función constante (horizontal por el 5)
El segundo trozo y=x^2-6x+10 es una función polinómica de segundo grado (su gráfica es una parábola).
Calculamos el vértice:
x=\frac{-b}{2a} \longrightarrow x=\frac{6}{2 \cdot 1}=3
y=3^2-6 \cdot 3+10 = 1
El vértice es el punto (3,1)

Es una parábola convexa (hacia arriba) y por la situación del vértice no va a cortar al eje de abcisas (eje horizontal).
Al eje vertical tampoco lo va a cortar porque está definida entre 2 y 5

Calculamos otros puntos
x=2 \longrightarrow y=2^2-6 \cdot 2+10 = 2
x=4 \longrightarrow y=4^2-6 \cdot 4+10 = 2
x=5 \longrightarrow y=5^2-6 \cdot 5+10 = 5

\begin{array}{c|c}
 x & y  \\
\hline
 2 & 2 \\
 4 & 2  \\
 5 & 5  \\
\end{array}

El tercer trozo y=4x-15 es una recta. Nos basta con calcular una par de puntos y dibujarla

\begin{array}{c|c}
 x & y  \\
\hline
 5 & 5 \\
 6 & 9  \\
\end{array}

- Dominio: R
- Corte con los ejes: (0,5)
- Asíntotas: no tiene
- Monotonía

(-\infty,2) (2,3) (3, +\infty)
Constante \longrightarrow Decreciente \searrow Creciente \nearrow

- Extremos: Mínimo en (3,1)