funciones hipérbola

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Sea la función f(x)=\frac{2x+1}{x-2}

– a) Representa gráficamente la función
– b) Calcula asíntotas, dominio, corte con los ejes y monotonía

SOLUCIÓN

La función f(x)=\frac{2x+1}{x-2} es una hipérbola.
Para dibujarla calculamos sus asíntotas y puntos de corte con los ejes.
Después calculamos más puntos (cuanto más puntos mejor saldrá la gráfica)

En la hipérbola y=\frac{ax+b}{cx+d} la asíntota horizontal responde a la ecuación y=\frac{a}{c}. En nuestro caso:
Asíntota horizontal \fbox{y=2}

La asíntota vertical se encuentra en el punto que anula el denominador:
x-2=0 \longrightarrow \fbox{x=2}

Corte con los ejes:
x=0 \longrightarrrow y=\frac{2 \cdot 0 +1}{0-2} = \frac{-1}{2}
Punto de corte: \left( 0,\frac{-1}{2} \right)
y=0 \longrightarrow 0=\frac{2x +1}{x-2} \longrightarrow 0=2x+1 \longrightarrow x=\frac{-1}{2}
Punto de corte: \left( \frac{-1}{2},0 \right)

Calculemos otros puntos:
\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 1 & -3 \\ -2 & 0.75 \\ 3 & 7 \\ 4 & 4.5 \\ 6 & 3.25 \\ \end{array}
Ya podemos dibujarla:

Su dominio es R - \{2\}

Monotonía:
– (-\infty,2) DECRECE
– (2, +\infty) DECRECE