funciones hipérbola

Sea la función f(x)=\frac{2x+1}{x-2}

- a) Representa gráficamente la función
- b) Calcula asíntotas, dominio, corte con los ejes y monotonía

SOLUCIÓN

La función f(x)=\frac{2x+1}{x-2} es una hipérbola.
Para dibujarla calculamos sus asíntotas y puntos de corte con los ejes.
Después calculamos más puntos (cuanto más puntos mejor saldrá la gráfica)

En la hipérbola y=\frac{ax+b}{cx+d} la asíntota horizontal responde a la ecuación y=\frac{a}{c}. En nuestro caso:
Asíntota horizontal \fbox{y=2}

La asíntota vertical se encuentra en el punto que anula el denominador:
x-2=0 \longrightarrow \fbox{x=2}

Corte con los ejes:
x=0 \longrightarrrow y=\frac{2 \cdot 0 +1}{0-2} = \frac{-1}{2}
Punto de corte: \left( 0,\frac{-1}{2} \right)
y=0 \longrightarrow 0=\frac{2x +1}{x-2} \longrightarrow 0=2x+1 \longrightarrow x=\frac{-1}{2}
Punto de corte: \left( \frac{-1}{2},0 \right)

Calculemos otros puntos:

\begin{array}{c|c}
 x & y  \\
\hline
 1 & -3 \\
 -2 & 0.75  \\
 3 & 7  \\
 4 & 4.5  \\
 6 & 3.25  \\
\end{array}
Ya podemos dibujarla:

Su dominio es R - \{2\}

Monotonía:
- (-\infty,2) DECRECE
- (2, +\infty) DECRECE