funciones problemas

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El valor, en miles de euros, de las existencias de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por la función:

f(t)=-4t^2+60t-15 \:,\:\:\:\:\:\: 1 \leq t \leq 8

- a) ¿Cuál será el valor de las existencias para t=2? ¿Y para t=4?
- b) ¿Cuál es el valor máximo de las existencias? ¿En qué instante se alcanza?
- c) ¿En qué instante el valor de las existencias es de 185000 euros?

SOLUCIÓN

- a) f(2)=-4\cdot 2^2+60 \cdot 2-15 = 89.
f(4)=-4\cdot 4^2+60 \cdot 4-15 = 161
Para t=2 el valor de las existencias es de 89000 euros y para t=4 es de 161000 euros.

- b) El valor máximo lo alcanzará en el vértice si éste se encuentra dentro del intervalo (1,8)
\frac{-b}{2a}=\frac{-60}{2 \cdot (-4)}=7.5
f(7.5)=210
Por tanto, el valor máximo de las existencias es de 210 000 euros y lo alcanza a los 7.5 años

- c) f(t)=185 \longrightarrow -4t^2+60t-15=185 \longrightarrow -4t^2+60t-200=0
Las soluciones de la ecuación de segundo grado son t=5 y t=10, pero la segunda de ellas está fuera del intervalo de definición de la función.
Por tanto, el valor de las existencias será de 185 000 euros para t=5, es decir, a los 5 años.