polinomios factorizar

Factoriza los siguientes polinomios:

– a) $4x^3 + 20x^2 -x -5$
– b) $x^4 +2x^3-4x^2 -5x - 6$

SOLUCIÓN

– a) $4x^3 + 20x^2 -x -5$

$\polyhornerscheme[x=-5,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{4x^3 + 20x^2 -x -5}$

$4x^3 + 20x^2 -x -5= (x+5) \cdot (4x^2-1)$

Veamos si podemos factorizar más resolviendo la ecuación de 2º grado:

$4x^2-1=0 \longrightarrow 4x^2=1 \longrightarrow x^2=\frac{1}{4} \longrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$

Por tanto $4x^2-1= 4 \cdot \left( x-\frac{1}{2} \right) \cdot \left( x+\frac{1}{2} \right)$

$4x^3 + 20x^2 -x -5 = \fbox{ (x+5) \cdot 4 \cdot \left( x-\frac{1}{2} \right) \cdot \left( x+\frac{1}{2} \right) }$

– b) $x^4 +2x^3-4x^2 -5x - 6$

$\polyhornerscheme[x=2,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^4 +2x^3-4x^2 -5x - 6}$

$\polyhornerscheme[x=-3,resultstyle=\color{red},resultbottomrule,resultleftrule,resultrightrule]{x^3+4x^2 +4x +3}$

$x^4 +2x^3-4x^2 -5x - 6 = \fbox{(x-2) \cdot (x+3) \cdot (x^2+x+1)}$

Observe que $x^2+x+1$ no se puede factorizar, pues la ecuación de segundo grado $x^2+x+1=0$ no tiene soluciones reales:

$x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4 \cdot1\cdot1}}{2 \cdot1}=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$