2008-06-11T23:33:38Z https://matematicasies.com/Funciones-grafica#comment269 2008-06-11T23:33:38Z

<p>El beneficio esperado por una empresa, en los próximos 8 años, viene indicado por la función:</p> <p><img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/4aaaf5713abe8f0b79683ac33aaaf280.png' style="vertical-align:middle;" width="303" height="95" alt="f(x) = \left\{ \begin{array}{lcr} -x^2+7x & si & 0 \leq x < 5 \\ \\10 & si & 5 \leq x \leq 8 \\ \end{array} \right." title="f(x) = \left\{ \begin{array}{lcr} -x^2+7x & si & 0 \leq x < 5 \\ \\10 & si & 5 \leq x \leq 8 \\ \end{array} \right."></p> <p>El tiempo (x) está expresado en años y el Beneficio f(x) viene expresado en millones de euros.</p> <p><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> a) Representa gráficamente la función <br><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> b) Explica la evolución del beneficio en esos 8 años <br><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> c) ¿Cuándo se espera un beneficio de 11,25 millones de euros?</p> <p><strong>Representación gráfica</strong></p> <p>Se trata de una función a trozos: un trozo de 0 a 5 y otro de 5 a 8.</p> <p><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> Primer trozo: <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/3322597ab69b152ed3101b50ebdcc8f7.png' style="vertical-align:middle;" width="122" height="47" alt="y=-x^2+7x" title="y=-x^2+7x">.</p> <p>Es una parábola invertida (el coeficiente de la <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/32f5240d0dbf2ccbe75ef7f8ef2015e0.png' style="vertical-align:middle;" width="22" height="47" alt="x^2" title="x^2"> es negativo). <br>Obtengamos el <strong>vértice</strong>, cuya primera coordenada responde a la fórmula <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/8c89c13378570d07d8d504a48c244615.png' style="vertical-align:middle;" width="32" height="67" alt="\frac{-b}{2a}" title="\frac{-b}{2a}"> , siendo <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/f836be878c290d77b060bdcaf6b3e25d.png' style="vertical-align:middle;" width="65" height="38" alt="a=-1" title="a=-1"> el coeficiente de la <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/32f5240d0dbf2ccbe75ef7f8ef2015e0.png' style="vertical-align:middle;" width="22" height="47" alt="x^2" title="x^2"> y <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/4814b029c5fab7ce8c22b682686f2be6.png' style="vertical-align:middle;" width="48" height="40" alt="b=7" title="b=7"> el coeficiente de <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png' style="vertical-align:middle;" width="17" height="30" alt="x" title="x"></p> <p><img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/87e0fca594d5dc6094ee72a8d49f348c.png' style="vertical-align:middle;" width="160" height="65" alt="x = \frac{-7}{2 \cdot (-1)} = 3.5" title="x = \frac{-7}{2 \cdot (-1)} = 3.5"></p> <p><img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/be1458f53862cbeb8e30ad8588b51ffd.png' style="vertical-align:middle;" width="233" height="47" alt="y = - 3.5^2 + 7 \cdot 3.5 = 12.25" title="y = - 3.5^2 + 7 \cdot 3.5 = 12.25"></p> <p>Por tanto: <strong>Vértice (3.5 , 12.25)</strong></p> <p>El <strong>Corte con los ejes</strong> nos suele ayudar a representar la parábola. <br>Si <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png' style="vertical-align:middle;" width="50" height="38" alt="x=0" title="x=0"> entonces <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png' style="vertical-align:middle;" width="50" height="38" alt="y=0" title="y=0"> . Corte <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/5c16f757233856dcf311176b7410d2d5.png' style="vertical-align:middle;" width="47" height="42" alt="(0,0)" title="(0,0)"> <br>Si <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png' style="vertical-align:middle;" width="50" height="38" alt="y=0" title="y=0"> entonces <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/7839856c7357af3919d280635d80643b.png' style="vertical-align:middle;" width="120" height="47" alt="-x^2+7x=0" title="-x^2+7x=0">. Ecuación de 2º grado cuyas soluciones son 0 y 7. <br>Por tanto los puntos de corte son <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/5c16f757233856dcf311176b7410d2d5.png' style="vertical-align:middle;" width="47" height="42" alt="(0,0)" title="(0,0)"> y <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/28b7c8e16ad9e0845b63901e7ebed7e5.png' style="vertical-align:middle;" width="47" height="42" alt="(7,0)" title="(7,0)">. <br>Debemos tener en cuenta, a la hora de representar gráficamente, que el <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/28b7c8e16ad9e0845b63901e7ebed7e5.png' style="vertical-align:middle;" width="47" height="42" alt="(7,0)" title="(7,0)"> está fuera de su dominio (de 0 a 5), por tanto no tenemos que representarlo.</p> <p>Podemos asignar valores y obtener <strong>otros puntos</strong> que nos faciliten la representación gráfica. Debemos recordar que los valores 0 y 5 debemos asignarlos porque son los puntos de inicio y fin de trozo. <br>Podemos obtener las imágenes de 1,2 y 3. La simetría nos dará los puntos 4 y 5.</p> <p> </p><p class="spip" style="text-align:center;"><img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/16c6e4a5a29bd79828def0b6a20417c5.png' style="vertical-align:middle;" width="227" height="73" alt="\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}\hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline Y & 6 & 10 & 12 & 12 & 10\\ \hline \end{tabular}" title="\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|}\hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline Y & 6 & 10 & 12 & 12 & 10\\ \hline \end{tabular}"></p> <p><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> Segundo trozo: <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/6453038dab814125c128b39d8a98369f.png' style="vertical-align:middle;" width="60" height="38" alt="y=10" title="y=10">. Es la función constante (recta horizontal por el 10) entre 5 y 8.</p> <center><img src="http://matematicasies.com/IMG/png_grafica_beneficio.png" alt="png_grafica_beneficio.png"></center> <p><strong>Evolución del beneficio</strong></p> <p>El beneficio empieza en 0 cuando se crea la empresa y va aumentando hasta el año 3.5 en que alcanza el máximo: 12,25 millones de euros. <br>A partir del año 3,5 inicia un descenso (hasta los 10 millones) en el año 5. <br>Desde el año 5 hasta el 8 el beneficio se mantiene constante en 10 millones.</p> <p><strong>¿Cuándo se espera un beneficio de 11,25 millones de euros?</strong></p> <p>Analizando la gráfica se observa que hay dos momentos en que el beneficio es de 11,25 millones: uno antes del tercer año y otro después del cuarto año. <br>Para calcular exactamente en qué momento se alcanza ese beneficio, tan sólo tenemos que resolver la ecuacion: <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/6da3afe2a239eaefb3822cfe43efdba4.png' style="vertical-align:middle;" width="117" height="42" alt="f(x) = 11,25" title="f(x) = 11,25"> . Por tanto:</p> <p><img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/fa403cbfc9ff411c26184ca031f5d9a2.png' style="vertical-align:middle;" width="153" height="47" alt="-x^2+7x = 11.25" title="-x^2+7x = 11.25"></p> <p>Ecuación de segundo grado con dos soluciones: 2,5 y 4,5.</p> <p>Por tanto el beneficio de 11,25 millones se alcanza en dos momentos: <br><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> a los 2 años y medio <br><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> a los 4 años y medio<br class="autobr"> </p>