2008-06-14T10:50:59Z https://matematicasies.com/funciones-problemas-grafica#comment270 2008-06-14T10:50:59Z

<p>El beneficio obtenido por la producción y venta de x kilogramos de un artículo viene dado por la función:</p> <p> </p><p class="spip" style="text-align:center;"><img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/aa85e7a7620a55936685b94663b225ef.png' style="vertical-align:middle;" width="255" height="47" alt="B(x)=-0.01x^2+3.6x-180" title="B(x)=-0.01x^2+3.6x-180"></p> <p><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> a) Representa gráficamente esta función. <br><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> b) Determina el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo. <br><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> c) Determina cuántos kilogramos se deben producir y vender, como máximo, para que la empresa no tenga pérdidas.</p> <p><strong>Representación gráfica</strong></p> <p>Se trata de una parábola invertida (el coeficiente de la <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/32f5240d0dbf2ccbe75ef7f8ef2015e0.png' style="vertical-align:middle;" width="22" height="47" alt="x^2" title="x^2"> es negativo: <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/25b7b563557b1df9a5a6574472d5caee.png' style="vertical-align:middle;" width="53" height="38" alt="-0.01" title="-0.01">)</p> <p><strong>Vértice</strong>: <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/e206b49b460f6612aa6fd68ea6d3c644.png' style="vertical-align:middle;" width="135" height="72" alt="\left( \frac{-b}{2a} , f\left( \frac{-b}{2a} \right) \right)" title="\left( \frac{-b}{2a} , f\left( \frac{-b}{2a} \right) \right)"></p> <p><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/888b444469b44fd6ee30a2685352bde5.png' style="vertical-align:middle;" width="190" height="65" alt="x=\frac{-3.6}{2 \cdot (-0.01)}=180" title="x=\frac{-3.6}{2 \cdot (-0.01)}=180"> <br><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/6c11c0d0742030897936f0f0ed54beba.png' style="vertical-align:middle;" width="343" height="47" alt="y=-0.01 \cdot 180^2 + 3.6 \cdot 180 - 180 = 144" title="y=-0.01 \cdot 180^2 + 3.6 \cdot 180 - 180 = 144"></p> <p>Por tanto el vértice es <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/3d1f9b5f1a98a166967b207888603fdc.png' style="vertical-align:middle;" width="87" height="42" alt="(180, 144)" title="(180, 144)"></p> <p><strong>Corte con los ejes de coordenadas</strong></p> <p><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> si x=0 entonces y=-180; por tanto <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/7e8b8ae3305a1032fd4cd06b64bda096.png' style="vertical-align:middle;" width="82" height="42" alt="(0, -180)" title="(0, -180)"> <br><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> si y=o entonces <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/04afa787a779971eb955ad14880d3b75.png' style="vertical-align:middle;" width="223" height="47" alt="-0.01x^2+3.6x-180=0" title="-0.01x^2+3.6x-180=0"> . Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones 60 y 300. Por tanto los puntos de corte son <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/c22923d4f250617ba4b37f2f143e961b.png' style="vertical-align:middle;" width="57" height="42" alt="(30,0)" title="(30,0)"> y <img src='https://matematicasies.com/local/cache-TeX/a856271d901a62b4b452c582f3a97e98.png' style="vertical-align:middle;" width="67" height="42" alt="(180,0)" title="(180,0)"></p> <p>Aunque podemos obtener más puntos .. con el vértice y corte con los ejes ya podemos obtener un dibujo de la parábola:</p> <center><img src="http://matematicasies.com/images/ej_59.png" alt="ej_59.png"></center> <p>A la vista de la gráfica, resulta fácil contestar a las preguntas:</p> <p><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> El beneficio máximo (144) se obtiene con <strong>180 kg.</strong> (en el vértice, que es el punto donde se alcanza el máximo).</p> <p><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> Si pasa de los <strong>300 kg.</strong> la empresa obtendría pérdidas (observa que también obtendría pérdidas con menos de 60 kg.</p>