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Sistema Lineal 3x3 Ejercicio 1687

Resuelve el sistema de ecuaciones:
 \left\{
\begin{array}{lll}
5p - 4q + 3r = 9 \\
2p + q -2r = 1  \\
4p + 3q + 4r = 1
\end{array}
\right.

SOLUCIÓN

 \left\{ \begin{array}{lll} 5p - 4q + 3r = 9 \\ 2p + q -2r = 1  \\ 4p + 3q + 4r = 1 \end{array} \right.

Vamos a aplicar el método de sustitución.
Despejamos q en la segunda ecuación y sustituimos en las otras 2 ecuaciones.

2p + q -2r = 1 \longrightarrow  \fbox{q = 1-2p+2r}

 \left\{ \begin{array}{lll} 5p - 4(1-2p+2r) + 3r = 9   \\ 4p + 3(1-2p+2r) + 4r = 1 \end{array} \right.

Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Antes de resolverlo debemos quitar paréntesis y agrupar y ordenar las incñognitas

 \left\{ \begin{array}{lll} 5p - 4+8p-8r + 3r = 9   \\ 4p + 3-6p+6r + 4r = 1 \end{array} \right.

 \left\{ \begin{array}{lll} 13p - 5r = 13   \\ -2p+10r=-2 \end{array} \right.

Como en la segunda ecuación todos son pares, podemos simplificar dividiendo por 2

 \left\{ \begin{array}{lll} 13p - 5r = 13   \\ -p+5r=-1 \end{array} \right.

Podemos aplicar el método de reducción y sumar ambas ecuaciones (así se cancelará r)

 \begin{array}{cccc} 13p& \cancel{- 5r} &=& 13   \\ -p&\cancel{+5r}&=&-1  \\ \hline \\ 12p & &=& 12 \end{array}

Por tanto 12p = 12 \longrightarrow \color{red}{p=1}

Ahora en cualquiera de las dos ecuaciones sustituimos p por 1 y calculamos r

-p+5r=-1 \longrightarrow -1+5r=-1 \longrightarrow 5r=0 \longrightarrow \color{red}{r=0}

Por último nos queda calcular q que la teníamos despejada al principio

q = 1-2p+2r \longrightarrow q=1-2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \longrightarrow \color{red}{q=-1}

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