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Funciones - Gráfica

El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, viene dado por la función

f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
              -x^2+7x &   si  & 0 \leq x \leq 5 \\
                \\
               10 & si &5 < x \leq 8
              \end{array}
    \right.

donde x representa el tiempo transcurrido en años.

- a) Representa gráficamente la función
- b) Explica cómo es la evolución del beneficio esperado durante esos 8 años y calcula cuándo el beneficio esperado es de 11,25 millones de euros.

SOLUCIÓN

El primer trozo y = -x^2+7x es una parábola que debemos dibujar entre 0 y 5

Vértice:
x=\frac{-b}{2a} \longrightarrow x=\frac{-7}{2 \cdot (-1)} = 3.5
y = -3.5^2 + 7 \cdot 3.5 =  -12.25 + 24.5 = 12.25
El vértice es el punto (3.5, 12.25)

Se trata de una parábola invertida pues el coeficiente (a=-1) de x^2 es negativo.

Corte con los ejes de coordenadas:
Si x=0 \longrightarrow y=-0^2 + 7 \cdot 0 = 0
Punto de corte: (0,0)
Si y=0 \longrightarrow 0=-x^2 + 7x
Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos como soluciones 0 y 7
Puntos de corte: (0,0) y (7,0)
El punto (7,0) no nos vale porque está fuera de su dominio [0,5]

Calculemos otros puntos:

\begin{array}{c|c}
 x & y  \\
\hline
 1 & 6 \\
 2 & 10  \\
 3 & 12  \\
 4 & 12  \\
 5 & 10  \\
\end{array}

El segundo trozo es un función constante y=10 entre 5 y 8

Dibujamos la función

Para entender la función en el contexto del problema debemos saber que:
x \longrightarrow  tiempo (años)
y=f(x) \longrightarrow beneficio (millones euros)

b) Vemos que el beneficio enpieza en 0 al principio (0 años) y va aumentando cada año hasta los 3.5 años que alcanza su máximo (12.25 millones de euros).
A partir de ese momento, el beneficio empieza a descender hasta los 5 años (19 millones de euros).
Desde los 5 años hasta los 8 años se mantiene constante en 10 millones de euros

¿Cuándo se espera un beneficio de 11.25 millones de euros?
Si miramos la gráfica vemos que habrá dos veces:
- una será en algún momento entre los 2 y 3 años.
- la otra será en algún momento entre los 4 y 5 años.
Para calcularlo de forma concreta resolvemos:
-x^2+7x = 11.25
-x^2+7x - 11.25 = 0
Resolvemos la ecuación de 2º grado
y obtenemos como soluciones 2.5 y 4.5
Por tanto, obtendrá un beneficio de 11.25 millones a los 2.5 años y a los 4.5 años

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