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En respuesta a:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})$

nos permite averiguar el ángulo que forman dos vectores, despejando el coseno:

$cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}})=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

– Ejemplo: Halla el ángulo que forman los vectores $\vec{u}=(2,0,1)$ y $\vec{v}=(2,-2,1)$

Si llamamos $\alpha$ al ángulo que forman ambos vectores, tendremos:

$cos(\alpha)=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

$cos(\alpha)=\frac{2 \cdot 2 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 1}{\sqrt{2^2+0^2+1^2} \cdot \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}$

$cos(\alpha)=\frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{9}} = \frac{5}{3 \sqrt{5}}$

Usamos la calculadora y vemos que $\alpha = 41^\circ 48\textsc{\char13} 47\textsc{\char13}\textsc{\char13}$