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04 - Distancia entre rectas que se cruzan

Para calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan y podemos usar varios procedimientos. Veamos algunos de ellos:

Método 1

– Buscamos un plano $\pi$ que contenga a una de las rectas y que sea paralelo a la otra recta (podemos hallarlo con un vector director de cada recta y un punto de ).
– La distancia entre ambas rectas es la distancia de cualquier punto de al plano.

**Distancia entre rectas que se cruzan**

rectas que se cruzan sin cortarse en el espacio

Ver ejemplo resuelto por este método

Método 2

Otro método sería el que aparece en el siguiente vídeo:

Método 3

Otra forma de calcular la distancia entre rectas que se cruzan es aplicar la siguiente fórmula (necesitamos un vector y un punto de cada recta)

$d(r,s) = \frac{\left| [\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}] \right|}{\left| \vec{v_r} \times \vec{v_s} \right|}$

Numerador $\longrightarrow$ valor absoluto del producto mixto
Denominador $\longrightarrow$ módulo del producto vectorial

Veamos de dónde sale la fórmula

**Distancia entre rectas que se cruzan sin cortarse**

Método para calcular la distancia entre rectas que se cruzan en el espacio

matematicasies.com

Volumen del paralelepípedo = Área de la base x altura

$\text{\huge{V=A}} \cdot \text{\huge{d}}$

Recordemos que el volumen se calcula con el producto mixto y la superficie con el producto vectorial

$\underbrace{\left| [\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}] \right|}_{V} = \underbrace{\left| \vec{v_r} \times \vec{v_s} \right|}_{A} \cdot d$

Despejando "d" se obtiene la fórmula para calcular la distancia entre rectas que se cruzan:

$d(r,s) = \frac{\left| [\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}] \right|}{\left| \vec{v_r} \times \vec{v_s} \right|}$

$\vec{v_r} \longrightarrow$ vector director de la recta r
$\vec{v_s} \longrightarrow$ vector director de la recta s
$\vec{P_rP_s} \longrightarrow$ vector formado por un punto de cada recta.

Ver ejemplo resuelto por el método 3