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Rango de una matriz por el método de Gauss

Calcular el rango por Gauss

Para calcular el rango de una matriz por el método de Gauss:

 Calculamos el rango por filas. Si la matriz tuviese más filas que columnas, podemos usar su traspuesta, recordemos que rg(A) = rg(A^t)
 Mediante transformaciones elementales, hacemos ceros todos los elementos por debajo de la diagonal principal.


 El rango es el número de filas (sin contar las filas nulas)

Ejemplo
Calculamos el rango de la matriz A = \left(
\begin{array}{cccc}
     1 & 1 & 0 & 1
  \\ 1 & 0 & -1 & 1
  \\ 2 & 1 & -1 & 2
\end{array}
\right)
Para hacer los dos primeros ceros de la primera columna, hacemos las siguientes transformaciones de filas:
F_1 - F_2 \longrightarrow F_2
2 \cdot F_1 - F_3 \longrightarrow F_3
Quedando la matriz así: A = \left(
\begin{array}{cccc}
     1 & 1 & 0 & 1
  \\ 0 & 1 & 1 & 0
  \\ 0 & 1 & 1 & 0
\end{array}
\right)
Para el último cero restamos las filas 2 y 3: F_2 - F_3 \longrightarrow F_3

A = \left(
\begin{array}{cccc}
     1 & 1 & 0 & 1
  \\ 0 & 1 & 1 & 0
  \\ 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
El rango es el número de filas no nulas, por tanto rg(A) = 2