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Calcular matriz inversa usando determinantes

Para calcular la matriz inversa de una matriz A, usaremos la fórmula:

A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot \left( Adj(A)\right)^t

- En primer lugar calculamos el determinante de A. Si det(A)=0 la matriz A no tiene inversa (hemos terminado). Si det(A)\neq 0 continuamos:
- Ahora calculamos la matriz adjunta Adj(A)
- A la matriz adjunta, que acabamos de calcular, le hacemos su traspuesta.
- Finalmente dividimos todos los elementos de la matriz resultante por det(A)

Ejemplo

Vamos a calcular la inversa de la matriz A = \left(
\begin{array}{ccc}
    0 & 1 & 1
\\ 2 & 0 & 1
\\ 1 & 1 & 3
\end{array}
\right)

- Calculamos el determinante: |A| = \left|
\begin{array}{ccc}
    0 & 1 & 1
\\ 2 & 0 & 1
\\ 1 & 1 & 3
\end{array}
\right| = 0+2+1-0-0-6 = -3

- Calculamos la matriz adjunta Adj(A) = \left(
\begin{array}{ccc}
    -1 & -5 & 2
\\ -2 & -1 & 1
\\ 1 & 2 & -2
\end{array}
\right)

- Le hacemos la traspuesta: (Adj(A))^t = \left(
\begin{array}{ccc}
    -1 & -2 & 1
\\ -5 & -1 & 2
\\ 2 & 1 & -2
\end{array}
\right)

- Por últimos, dividimos por -3 (valor de |A|)

A^{-1} = \left(
\begin{array}{ccc}
    \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3}
\\
\\    \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}
\\
\\    -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{array}
\right)

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