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Selectividad Andalucía 2019 Junio A3

Calcula todas las matrices X = \left(
\begin{array}{cc}
     a & b
  \\ c & d
\end{array}
\right) tales que a+d=1, tienen determinante 1 y cumplen AX=XA, siendo A = \left(
\begin{array}{cc}
     0 & -1
  \\ 1 & 0
\end{array}
\right)

SOLUCIÓN

Expresamos las tres condiciones que no da el enunciado:

1) \fbox{a+d=1}

2) |X|=1 \longrightarrow \left|
\begin{array}{cc}
     a & b
  \\ c & d
\end{array}
\right|= 1 \longrightarrow \fbox{ad-bc=1}

3) AX=XA \longrightarrow \left(
\begin{array}{cc}
     0 & -1
  \\ 1 & 0
\end{array}
\right) \cdot 
\left(
\begin{array}{cc}
     a & b
  \\ c & d
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{cc}
     a & b
  \\ c & d
\end{array}
\right) \cdot 
\left(
\begin{array}{cc}
     0 & -1
  \\ 1 & 0
\end{array}
\right)
Haciendo los productos obtenemos
\left(
\begin{array}{cc}
     -c & -d
  \\ a & b
\end{array}
\right) = 
\left(
\begin{array}{cc}
     b & -a
  \\ d & -c
\end{array}
\right)

Si igualamos elemento a elemento obtenemos las siguientes relaciones:

\left.
\begin{array}{c}
     -c=b
  \\ a=d
  \\ -d=a
  \\ b=-c
\end{array}
\right\}
Hay dos repetidas, por tanto nos quedamos con \fbox{a=d} y \fbox{b=-c}

Con todas las ecuacionees anteriores podemos calcular los valores de a,b,c y d

\left.
\begin{array}{c}
     a+d=1
  \\ a=d
\end{array}
\right\} \longrightarrow \left.
\begin{array}{c}
     a = \frac{1}{2}
  \\ d = \frac{1}{2}
\end{array}
\right.

\left.
\begin{array}{c}
     ad-bc=1
  \\ b=-c
\end{array}
\right\} \longrightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} -(-c) \cdot c = 1

\frac{1}{4}+c^2=1 \longrightarrow c^2=1- \frac{1}{4} \longrightarrow c^2=\frac{3}{4}
c = \sqrt{\frac{3}{4}} \longrightarrow c = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

Si  c = +\frac{\sqrt{3}}{2} \longrightarrow b = -\frac{\sqrt{3}}{2}
Si  c = -\frac{\sqrt{3}}{2} \longrightarrow b = +\frac{\sqrt{3}}{2}

Por tanto, las dos matrices solución son:

X = \left(
\begin{array}{cc}
     \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}
  \\ \frac{-\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}
\end{array}
\right) y X = \left(
\begin{array}{cc}
     \frac{1}{2} & \frac{-\sqrt{3}}{2}
  \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}
\end{array}
\right)