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Ejercicio vectores en el espacio

Consideramos los puntos , y .

– a) Calcula (distancia entre los puntos A y B)
– b) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ (producto escalar)
– c) Calcula el perímetro del triángulo de vértices A, B y C
– d) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C

SOLUCIÓN

Preparamos los vectores que necesitaremos en los siguientes apartados:
$\vec{AB}=(-1,0,2)$ , $\vec{AC}=(0,0,1)$ , $\vec{BC}=(1,0,-1)$

– a) $d(A,B)=|\vec{AB}|=+ \sqrt{(-1)^2+0^2+2^2}=+\sqrt{5}$
– b) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}=(-1) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2$
– c) Perímetro =
$+\sqrt{5}+\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}+\sqrt{0^2+0^2+1^1} =$
$=+\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{1} = \sqrt{5}+\sqrt{2}+1$
– d) Calculamos el área del triángulo con la fórmula:
Área = $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

$\vec{AB} \times \vec{AC}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 0\vec{i}+1\vec{j}+0\vec{k}$

Por tanto, Área = $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2} = \frac{1}{2}$