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Selectividad Andalucía 2014-2-B1

– a) Determine los valores de x e y que hacen cierta la igualdad
$\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ -y \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 1 & x \\ y & -1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right)$
– b) Resuelva la ecuación matricial
$X \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array} \right) - 2 \cdot \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right)$

SOLUCIÓN

Hacemos los productos de matrices (a izquierda y derecha del signo igual) y obtenemos:
$\left(\begin{array}{c} 2x+y \\ 3x+y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3y\end{array}\right)$
Ante una igualdad de matrices, igualamos elemento a elemento
$\left.\begin{array}{c} 2x+y = 3 \\ 3x+y = 3y\end{array}\right\}$
Hemos obtenido un sistema de 2x2, que ordenamos y resolvemos
$\left.\begin{array}{c} 2x+y = 3 \\ 3x-2y = 0\end{array}\right\}$
Se obtienen como soluciones $x=\frac{6}{7}$ ; $y=\frac{9}{7}$

– b) De la ecuación matricial, se deduce que la matriz es de dimensión $2 \times 2$ . Supongamos que sea $X=\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d\end{array}\right)$
La ecuación matricial quedaría:
$\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 5\end{array}\right) - 2 \cdot\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -1\end{array}\right)$
Realizamos las operaciones a izquierda del signo igual y obtenemos: $\left(\begin{array}{cc} a+2b & 3a+5b+2 \\ c+2d+2 & 3c+5d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -1\end{array}\right)$
Ante una igualdad de matrices igualamos elemento a elemento y obtenemos:

Hemos obtenido dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas (uno con las incógnitas y y otro con las incógnitas y .
Ordenamos y resolvemos ambos sistemas, obteniendo como soluciones:
$\fbox{a=-5}$
$\fbox{b=3}$
$\fbox{c=-7}$
$\fbox{d=4}$