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Vectores en tres dimensiones

Consideramos los puntos , y .

a) Calcula (distancia entre los puntos A y B)
b) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ (producto escalar)
c) Calcula el perímetro del triángulo de vértices A, B y C
d) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C

SOLUCIÓN

Preparamos los vectores que necesitaremos en los siguientes apartados:
$\vec{AB}=(-2,-2,-2)$ , $\vec{AC}=(1,-2,-2)$ , $\vec{BC}=(3,0,0)$

a) $d(A,B)=|\vec{AB}|=+ \sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-2)^2}=+\sqrt{12}$
b) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}=(-2) \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) + (-2) \cdot (-2) = 6$
c) Perímetro =
$+\sqrt{12}+\sqrt{3^2+0^2+0^2}+\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2} =$
$=+\sqrt{12}+\sqrt{9}+\sqrt{9} = \sqrt{12}+6$
d) Calculamos el área del triángulo con la fórmula:
Área = $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

$\vec{AB} \times \vec{AC}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \end{array} \right| = 0\vec{i}-6\vec{j}+6\vec{k}$

Por tanto, Área = $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2+(-6)^2+6^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{72} u^2$