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Ecuaciones matriciales 4179

Sean las matrices $A = \left( \begin{array}{cc} 6 & 0 \\ 2 & 4 \end{array} \right)$ , $B = \left( \begin{array}{c} -4 \\ 6 \end{array} \right)$ , $C = \left( -2 \quad -2 \right)$

a) Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúelas
cuando sea posible:
$B + 2 C \cdot A$
$A - \left( B \cdot C \right)^t$

b) Resuelva la siguiente ecuación matricial: $\frac{1}{5} (B + A \cdot X) = C^t$

SOLUCIÓN

a) $B + 2 C \cdot A$
Podemos hacer la operación $2 C \cdot A$ : al multiplicar una matriz de (1x2) por una de (2x2) obtendríamos una matriz de dimension (1x2), la cual no se podría sumar con la matriz B (2x1) al no tener la misma dimensión.
Por lo tanto esta operación NO se puede hacer

$A - \left( B \cdot C \right)^t$
La operación B·C (2x1) · (1x2) se puede hacer obteniendo una matriz de (2x2)
Al hacer su traspuesta obtendremos una matriz de (2x2) que se podrá sumar o restar con la matiz A (2x2) al tener ambas la misma dimensión.
Por lo tanto Si se puede hacer la operación completa y obtendríamos:
$A - \left( B \cdot C \right)^t =$
$\left( \begin{array}{cc} 6 & 0 \\ 2 & 4 \end{array} \right) - \left( \left( \begin{array}{c} -4 \\ 6 \end{array} \right) \cdot \left( -2 \quad -2 \right) \right)^t=$

$\left( \begin{array}{cc} 6 & 0 \\ 2 & 4 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cc} 8 & 8 \\ -12 & -12 \end{array} \right)^t =$

$\left( \begin{array}{cc} 6 & 0 \\ 2 & 4 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{cc} 8 & -12 \\ 8 & -12 \end{array} \right) = \fbox{\left( \begin{array}{cc} -2 & 12 \\ -6 & 16 \end{array} \right) }$

$\frac{1}{5} (B + A \cdot X) = C^t$
Para que AX se pueda sumar con B, que es de dimensión (2x1), tiene que tener también dimensión (2x1).
Como A es de (2x2), entonces X tiene que ser de (2x1)

Entonces podemos expresar la ecuación matricial de la forma:
$\frac{1}{5} (B + A \cdot X) = C^t$
$\frac{1}{5} \cdot \left( \left( \begin{array}{c} -4 \\ 6 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} 6 & 0 \\ 2 & 4 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c} -4 \\ 6 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} 6 & 0 \\ 2 & 4 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = 5 \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c} -4 \\ 6 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 6x + 0y \\ 2x+4y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ -10 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{c} -4 + 6x \\ 6 + 2x+4y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ -10 \end{array} \right)$

La igualdad de matrices anterior nos genera el sistema de ecuaciones siguiente:
$\left. \begin{array}{c} -4 + 6x = -10 \\ 6 + 2x+4y = -10 \end{array} \right\}$
Al resolver el sistema obtenemos como soluciones:
$x=-1 ; \quad y=-7/2$

Por lo tanto, la solución a la ecuación matricial es:

$\fbox{X = \left( \begin{array}{c} -1 \\ -7/2 \end{array} \right) }$