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Posición relativa de recta y plano 4200

Estudia la posición relativa de la recta r y el plano $\alpha$ en los siguientes casos:

a) $r : \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 2 + 3 \lambda \\ y & = & 2 \lambda \\ z & = & -2 +4 \lambda \end{array} \right. \qquad \alpha : 3x-y+2z+1=0$

b) $r : \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 2t + 3 \\ y & = & t-1\\ z & = & t+2 \end{array} \right. \qquad \alpha : x-3y+z-8=0$

SOLUCIÓN

Para estudiar la posición relativa de recta y plano (Ver Teoría) debemos expresar la recta en ecuaciones implícitas y el plano en ecuación general.
Debemos discutir el sistema formado por las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano.

Expresamos la recta en ecuación continua, para después pasarla a implícitas
$\frac{x-2}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{4}$
$2(x-2)=3y \rightarrow 2x-3y=4$
$2(z+2)=4y \rightarrow -4y+2z=-4$

Con las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano ya tenemos el sistema 3x3

$\left\{ \begin{array}{cCcc} 2x & -3y & &=4 \\ & -4y & +2z &=-4 \\ 3x & -y &+2z &=-1 \end{array} \right.$

Calculemos los rangos de las matriz de los coeficientes y de la ampliada

$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -3 & 0\\ 0 & -4 & 2\\ 3 & -1 & 2 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 4 \\ -4 \\ -1 \end{array} \right )$

$|A| = \left| \begin{array}{cccc} 2 & -3 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \end{array} \right| = -30 \neq 0 \rightarrow rg(A)=3$
Por tanto es un Sistema Compatible Determinado (solución única), es decir la recta y el plano tienen un sólo punto en común, por tanto se cortan en un punto (secantes).

b) Siguiendo el mismo procedimiento que en el apartado a) se obtiene que el sistema es Compatible Indeterminado, es decir, infinitas soluciones. Por tanto recta y plano tienen infinitos puntos en común, lo que significa que la recta está contenida en el plano