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Depósito de ahorro

Como tenemos dinero ahorrado, estamos pensando en contratar un depósito que aumente ese dinero. El banco nos ofrece un 4% de interés compuesto anual, con pagos trimestrales. Abriremos el depósito con un capital inicial de 8000 euros.
a) ¿Qué capital final obtendríamos después de 3 años?
b) Si el tipo de interés fuera simple, cuánto tiempo necesitaríamos para obtener ese mismo capital final.
c) Indica la TAE que tendría la operación.

SOLUCIÓN

a) Como los pagos son trimestrales, usaremos la fórmula del interés compuesto Ver Teoría donde t son trimestres:
$C = c \cdot \left( 1 + \frac{r}{400} \right)^t$
Sustituimos en la fórmula los datos del enunciado:
$C = 8000 \cdot \left( 1 + \frac{4}{400} \right)^{12} = \fbox{9014.60}$

b) Si el interés fuese simple (en lugar de compuesto), usamos la fórmula del interés simple para trimestres:
$I = \frac{C \cdot r \cdot t}{400}$
Necesitamos obtener un interés de 1014.60 con un capital de 8000 y un rédito del 4%
$1014.60 = \frac{8000 \cdot 4 \cdot t}{400}$
Tenemos que despejar t (número de trimestres)
$\frac{1014.60 \cdot 400}{8000 \cdot 4}=12.6825$
Necesitaríamos 13 trimestres (3 años y un trimestre)

c) Usaremos la fórmula para el cálculo de la TAE (Ver Teoría):
$TAE = \left( 1 + \frac{i}{k} \right)^k -1$
Recordemos que k es el número de veces al año. Como son pagos trimestrales sería 4 veces al año

$TAE = \left( 1 + \frac{0.04}{4} \right)^4 -1 = 0,04060401$
Sería una TAE del 4.06%