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Trigonometría. Distancia a castillo

Una persona desea saber a qué distancia esta su casa del castillo sobre la montaña. Para no subir la montaña decide realizar un dibujo con algunas medidas como se ve a continuación:

SOLUCIÓN

Teniendo en cuenta que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º podemos calcular los ángulos que faltan

El triángulo rojo DAC es isósceles, con dos ángulos iguales de 45º y por tanto sus dos catetos también son iguales, con lo que el lado DC mide 75 m igual que el otro cateto.

Por Pitágoras podemos calcular el lado AC

$\overline{AC}^2 = 75^2 + 75^2$
$\overline{AC}^2 = 11250$
$\overline{AC} = \sqrt{11250}$

No debemos expresar ninguna aproximación de la raíz porque perderemos precisión. Lo que si podemos hacer es simplificar
$11250 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^4$

$\left. \begin{array}{c|c}11250 & 2\cr5625 & 3 \cr1875 & 3 \cr625 & 5 \cr125 & 5 \cr25 & 5 \cr5 & 5 \cr1\end{array} \right.$

$\sqrt{11250} = \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2}=3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \sqrt{2}=75\sqrt{2}$

Actualizamos el dibujo con los datos que ya tenemos

Para calcular el lado BC (el que nos piden) podemos usar el seno de 60

$sen \: 60 = \frac{75 \sqrt{2}}{\overline{BC}}$

No necesitamos usar calculadora si conocemos las razones trigonométricas de los ángulos notables. Sabremos entonces que $sen \: 60 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , con lo cual tendremos:

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{75 \sqrt{2}}{\overline{BC}} \longrightarrow \overline{BC} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 75 \cdot \sqrt{2} \longrightarrow \overline{BC}=\frac{150 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Racionalizamos el resultado multiplicando y dividiendo por raíz de 3

$\overline{BC}=\frac{150 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = =\frac{150 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}= \frac{150 \sqrt{6}}{3}=\fbox{50 \sqrt {6}}$