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Problemas de móviles

El camión número 1 se mueve con rapidez constante de 55Km/h. Sale a la 07:00h y tiene un viaje de 400Km desde una ciudad A hacia otra B, que están en línea recta. Desde la ciudad B sale un camión 2 a las 08:00h hacia la ciudad A a 45Km/h, ¿A qué hora de la mañana se cruzan?

SOLUCIÓN

Los llamados "clásicos" problemas de móviles se resuelven planteando las ecuaciones físicas v=\frac{e}{t} o la equivalente t=\frac{e}{v} para cada uno de los móviles (coches, camiones, trenes, etc.).

En primer lugar debemos hacer un esquema de la situación

Si planteamos la ecuaciones para cada móvil, tendremos (a la izquierda la del camión 1 y a la derecha la del camión 2)

t_1=\frac{e_1}{v_1} \qquad \qquad t_2=\frac{e_2}{v_2}

Ponemos los datos conocidos

t_1=\frac{x}{55} \qquad \qquad t_2=\frac{400-x}{45}

Si los móviles salieran al mismo tiempo (t_1=t_2), bastaría con igualar ambas fracciones: \frac{x}{55}=\frac{400-x}{45}

Cuando no salen al mismo tiempo, tenemos que buscar una relación entre los tiempos. En el ejemplo, el camión 1 sale 1 hora antes (su tiempo es 1 h más). Entonces para poder poner la igualdad, debemos restarle 1 (t_1-1=t_2)

Entonces podemos expresar las fracciones como;

\frac{x}{55} -1 =\frac{400-x}{45}

Estamos ante una ecuación de primer grado con denominadores. El procedimiento es hacer mcm y eliminar denominadores

\frac{x}{55} -\frac{1}{1} =\frac{400-x}{45}


m.c.m.(45,55) = 495

\frac{9 \cdot x}{495} -\frac{495 \cdot 1}{495} =\frac{11 \cdot (400-x)}{495}


9x-495=11(400-x)
9x-495=4400-11x
9x+11x=4400+495
20x=4895 \longrightarrw x = \frac{4895}{20}=244.75

Se cruzan a 244.75 km del punto A

Nos pedían la hora a la que se cruzan. Debemos calcular el tiempo de cualquiera de los camiones. Calculamos el tiempo del segundo camión (el que sale a las 8:00)
t_2=\frac{400-x}{45} =\frac{400-244.75}{45}=3.45

Es cruzan 3.45 horas después de las 8:00 h

Pero OJO, no significa que se cruzan a las 11h y 45 min

El resultado obtenido es decimal. Por ejemplo:
3 horas y media = 3.50 horas = 3 h y 30 min

Muchas calculadoras te convierten ese 3.45 en 3 horas y 27 minutos.
Si tuviésemos que hacerlo a mano, usaríamos una regla de 3
100 \: cent \longrightarrow 60 \: min
45 \: cent \longrightarrow x \: min
obtendríamos x = \frac{60 \cdot 45}{100}=27

Por tanto se cruzan a las \fbox{11 horas y 27 minutos}

moderación a priori

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