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Inversa por Gauss-Jordan. Ejercicio 4440

Calcula la inversa de la matriz A por el método de Gauss-Jordan
A = \left(
\begin{array}{ccc}
     1 & 3 & 4
  \\ 0 & -1 & 2
  \\ 2 & 5 & 0
\end{array}
\right)

SOLUCIÓN

En primer lugar debemos comprobar que la matriz tiene inversa.

|A| = 10
El determinante vale 10. Se puede calcular por la Regla de Sarrus o por Adjuntos.
Como |A| \neq 0, la matriz A tiene inversa, por tanto existe A^{-1} .

Es conveniente repasar el método de Gauss-Jordan para recordar los pasos a seguir.

En \textcolor{red}{rojo}: lo conseguido
En \fbox{recuadro}: lo que queremos conseguir
F_1 , F_2 , F_3 son las filas 1, 2 y 3

 \left(
\begin{array}{ccc|ccc}
\textcolor{red}{1} & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 \\
\textcolor{red}{0} & -1 & 2 & 0 &1 & 0 \\
\fbox{2} & 5 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)

Observe que el 1 y 0 rojos ya nos los dan hechos.
El primer cambio, para conseguir para conseguir un 0 donde está el \fbox{2} será: F_3-2F_1 \rightarrow F_3
Significa: Fila3 - 2 · Fila1 y el resultado en Fila3

 \left(
\begin{array}{ccc|ccc}
\textcolor{red}{1} & 3 & 4 & 1 & 0 & 0 \\
\textcolor{red}{0} & \fbox{-1} & 2 & 0 &1 & 0 \\
\textcolor{red}{0} & -1 & -8 & -2 & 0 & 1
\end{array}
\right)

F_2 \cdot (-1) \rightarrow F_2

 \left(
\begin{array}{ccc|ccc}
\textcolor{red}{1} & \fbox{3} & 4 & 1 & 0 & 0 \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{1} & -2 & 0 &-1 & 0 \\
\textcolor{red}{0} & \fbox{-1} & -8 & -2 & 0 & 1
\end{array}
\right)

F_1 -3F_2 \rightarrow F_2
F_3 +F_2 \rightarrow F_3

 \left(
\begin{array}{ccc|ccc}
\textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{0} & 10 & 1 & 3 & 0 \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{1} & -2 & 0 &-1 & 0 \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \fbox{-10} & -2 & -1 & 1
\end{array}
\right)

\frac{F_3}{-10} \rightarrow F_3

 \left(
\begin{array}{ccc|ccc}
\textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{0} & \fbox{10} & 1 & 3 & 0 \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{1} & \fbox{-2} & 0 &-1 & 0 \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{1} & 1/5 & 1/10 & -1/10
\end{array}
\right)

F_2 +2F_3 \rightarrow F_2
F_1 -10F_3 \rightarrow F_1

 \left(
\begin{array}{ccc|ccc}
\textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & -1 & 2 & 1 \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{0} & 2/5 &-4/5 & -1/5 \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{1} & 1/5 & 1/10 & -1/10
\end{array}
\right)

Por lo tanto, la inversa es:
A^{-1} = \left(
\begin{array}{ccc}
     -1 & 2 & 1 \\
\:
  \\ \dfrac{2}{5} & \dfrac{-4}{5} & \dfrac{-1}{5}
\\ \:
  \\  \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{10} & \dfrac{-1}{10}
\end{array}
\right)

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