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Circunferencia tangente a una recta y con el centro en otra recta

Halla la ecuación de un circunferencia que es tangente a la recta de ecuación $t \equiv x-2y+1=0$ , en el punto , y el centro está en la recta $r \equiv x+y-3=0$ .

SOLUCIÓN

En primer lugar dibujamos un gráfico con la situación, donde la recta t(roja) es tangente y la recta r(verde) debe contener al centro.

Debemos recordar que dada una recta tangente a una circunferencia, si le trazamos una perpendicular por el punto de tangencia, ésta pasa por el centro de la circunferencia

Si lo aplicamos a nuestro caso

Como el centro tiene que estar en la recta r y también en la perpendicular (p), pues estará justo en la intersección de ambas rectas.

Primero debemos hallar la ecuación de la perpendicular (p) y después calcular el punto de corte resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas (r) y (p). La solución nos dará el Centro de la circunferencia.

Para hallar la ecuación de la recta (p) tenemos un punto por donde pasa (T , el de tangencia) y como vector director, un vector perpendicular al vector director de t)
Con el punto (-1,0) y el vector (1,-2) se obtiene la recta -2x-y-2=0

Si resolvemos el sistema
$\left\{ \begin{array}{l} -2x-y-2=0 \\ x+y-3=0 \end{array} \right.$
obtenemos como soluciones x=-5 ; y=8

El centro es el punto C(-5,8)

Para hallar el radio, calculamos la distancia del centro al punto de tangencia

$r=d(C,T)=|\vec{CD}| = +\sqrt{(-4)^+8^2}=+\sqrt{80}$

Por tanto, la ecuación de la circunferencia será: