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Razones trigonométricas conociendo el coseno

Si $\alpha$ es un ángulo del segundo cuadrante y $cos \: \alpha=\frac{-3}{4}$ , se pide:

a) Calcula $sen \: \alpha$ y $tan \: \alpha$
b) Averigua el valor de $\alpha$ en radianes y grados sexagesimales
c) Calcula seno, coseno y tangente de $2 \alpha$ y de $\frac{\alpha}{2}$

SOLUCIÓN

Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría podemos calcular el seno:

$\fbox{sen^2(\alpha) + cos^2(\alpha)=1}$

$sen^2(\alpha) + \left( \frac{-3}{4}\right)^2 = 1$

$sen^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$sen(\alpha) = +\sqrt{\frac{7}{16}} = \textcolor{blue}{\frac{+\sqrt{7}}{4}}$

Tomamos la raíz positiva por ser un ángulo del segundo cuadrante

$tg(\alpha)= \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{\frac{+\sqrt{7}}{4}}{\frac{-3}{4}} = \textcolor{blue}{- \frac{\sqrt{7}}{3}}$

b) Averigua el valor de $\alpha$ en radianes y grados sexagesimales

$cos \: \alpha=\frac{-3}{4} \longrightarrow \alpha = arc \: cos \left( \frac{-3}{4} \right)$

Si usamos la calculadora obtenemos $\alpha = \textcolor{blue}{138.59^\circ}$

Si lo pasamos a radianes obtenemos aproximadamente $\textcolor{blue}{0.77 \pi}$ radianes

c) Calcula seno, coseno y tangente de $2 \alpha$ y de $\frac{\alpha}{2}$

Usamos las fórmulas del ángulo doble y ángulo mitad

$\fbox{sen (2 \alpha) = 2 \cdot sen(\alpha) \cdot cos(\alpha) }$

$sen (2 \alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{-3}{4} = \textcolor{blue}{\frac{-3 \cdot \sqrt {7}}{8}}$

$\fbox{cos (2 \alpha) = cos^2(\alpha) - sen^2(\alpha) }$

$cos (2 \alpha) = \left( \frac{-3}{4} \right)^2 - \left( \frac{\sqrt{7}}{4} \right)^2=\frac{9}{16}- \frac{7}{16} = \frac{2}{16} = \textcolor{blue}{\frac{1}{8}}$

$tg(2 \alpha)= \frac{sen(2 \alpha)}{cos(2 \alpha)}=\frac{\frac{-3 \cdot \sqrt {7}}{8}}{\frac{1}{8}} = \textcolor{blue}{-3 \cdot \sqrt {7}}$

$\fbox{sen \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\dfrac{1-cos(\alpha)}{2} }}$

$sen \left(\frac{\alpha}{2}\right) = +\sqrt{\frac{1-\left( \frac{-3}{4}\right)}{2} } = \textcolor{blue}{+\sqrt{\frac{7}{8}}}$
Observe que si $\alpha$ es del segundo cuadrante, entonces $\alpha/2$ es del primer cuadrante

$\fbox{cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\dfrac{1+cos(\alpha)}{2} }}$

$cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = +\sqrt{\frac{1+\left( \frac{-3}{4}\right)}{2} } = \textcolor{blue}{+\sqrt{\frac{1}{8}}}$

$tg \left( \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{sen\left( \frac{\alpha}{2}\right)}{cos\left( \frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{\sqrt{\frac{7}{8}}}{\sqrt{\frac{1}{8}}}=\textcolor{blue}{\sqrt{7}}$