Publicar un mensaje

En respuesta a:

Optimización descomponer 12 en dos sumandos positivos

Descomponer el número 12 en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máximo.

SOLUCIÓN

Datos:

Función a optimizar: $x \cdot y^2$

Expresamos la función a optimizar con una sola variable

$12 = x+y \longrightarrow y=12-x$

$f(x)=x \cdot (12-x)^2$
$f(x)=x \cdot (144+x^2-24x)$

Las soluciones de $f^\prime(x)=0$ son los candidatos a máximos o mínimos

$f^\prime(x)=3x^2-48x+144$

$f^\prime(x)=0 \longrightarrow 3x^2-48x+144=0$
$\begin{array}{ccc} & & x_1 = \frac{48+24}{6}=12\\ & \nearrow &\\ x=\frac{-(-48)\pm \sqrt{(-48)^2-4 \cdot3\cdot144}}{2 \cdot3}= \frac{48\pm \sqrt{576}}{6}& &\\ & \searrow &\\& &x_2 = \frac{48-24}{6}=4\end{array}$

La solución x=12 la descartamos (pues el otro número sería 0 y el producto valdría 0)

Veamos si x=4 es máximo

$f^\prime\prime(x)=6x-48$
$f^\prime\prime(4)=6 \cdot 4-48 = -24 < 0 \longrightarrow x=4$ es MAX

Por tanto los números son $\fbox{4}$ y $\fbox{8}$