Publicar un mensaje

En respuesta a:

Intervalo de confianza para la proporción. Ejercicio 4524

Para estimar la proporción de jóvenes (mayores de 16 años) de la localidad de Pulpí que bebe alcohol los fines de semana, se pregunta a 80 jóvenes resultado que 32 de ellos afirman beber alcohol los fines de semana.

a) Determine un intervalo de confianza, al 99\% , para la proporción de jóvenes que bebe alcohol los fines de semana

b) Con la misma proporción y nivel de confianza del apartado anterior, encuentre el tamaño mínimo de la muestra para estimar la proporción con un error inferior al 10\%

SOLUCIÓN

a) Nos están pidiendo un intervalo de confianza para la proporción, por lo que debemos aplicar la siguiente fórmula para el intervalo:

I = \left( \overline{p}-Z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}}, \overline{p} +Z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}} \right)

El tamaño de la muestra es n=80

La proporción de la muestra es \overline{p}=\frac{32}{80} = 0.4

Como la proporción de la población es desconocida, se toma la proporción de la muestra: p= 0.4

Cálculo del valor crítico z_c para una confianza del 99\%

P(Z \leq z_c) = \frac{1+0.99}{2} = 0.995

Buscamos en el interior de la tabla el número más próximo a 0.995 y obtenemos un valor de z_c=2.575

Ya tenemos los datos para generar el intervalo

\left( \overline{p}-Z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}}, \overline{p} +Z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}} \right)

\left( 0.4-2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{80}}, 0.4 +2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{80}} \right)

\left( 0.4 - 0.141, 0.4 +0.141 \right)

\left( 0.259, 0.541 \right)

b) La fórmula del error es:

E = z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}}

E \leq 0.10 \longrightarrow  z_c \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1-p)}{n}} \leq 0.1

2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{n}} \leq 0.1

 \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{n}} \leq \frac{0.1}{2.575}

\left( \sqrt{\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{n}}\right)^2 \leq \left(\frac{0.1}{2.575}\right)^2

\frac{0.4 \cdot (1-0.4)}{n} \leq \frac{0.1^2}{2.575^2}

0.4 \cdot (1-0.4) \leq \frac{0.1^2}{2.575^2} \cdot n

\frac{2.575^2 \cdot 0.4 \cdot (1-0.4)}{0.1^2} \leq n

159.135 \leq n

Por tanto, para que el error sea inferior al 10\%, la muestra debe ser de al menos 160 \longrightarrow \fbox{n \geq 160}

moderación a priori

Aviso, su mensaje sólo se mostrará tras haber sido revisado y aprobado.

¿Quién es usted?

Para mostrar su avatar con su mensaje, guárdelo en gravatar.com (gratuit et indolore) y no olvide indicar su dirección de correo electrónico aquí.

Añada aquí su comentario

Este formulario acepta los atajos de SPIP, [->url] {{negrita}} {cursiva} <quote> <code> y el código HTML. Para crear párrafos, deje simplemente una línea vacía entre ellos.