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Problema resuelto con sistema por sustitución

Un grupo de estudiantes organiza una excursión para lo cual alquilan un autocar cuyo precio es de 540 euros. Al salir, no se presentan 6 estudiantes y esto hace que cada uno de los otros pague 3 euros más. Calcula el número de estudiantes que fueron a la excursión y que cantidad pagó cada uno.

SOLUCIÓN

Número de estudiantes $\longrightarrow x$
Cada estudiante paga $\longrightarrow y$ euros

$\frac{540}{x}=y$

Al salir cambia la situación:
Estudiantes:

(6 menos)
Precio por estudiante:

(3 euros más cada uno)
Ahora la ecuación es

$\frac{540}{x-6}=y+3$

Con ambas ecuaciones formamos un sistema

$\left\{ \begin{array}{c} \dfrac{540}{x}=y \\ \\ \dfrac{540}{x-6}=y+3 \end{array} \right.$

Resolvemos por sustitución. Como está despejada en la primera ecuación, sustituimos por su valor en la segunda ecuación

$\frac{540}{x-6}=\textcolor{blue}{\frac{540}{x}}+3$

Hacemos la suma de la derecha

$\frac{540}{x-6}=\frac{540+3x}{x}$

Ahora hacemos productos cruzados

$540 \cdot x = (x-6) \cdot (540+3x)$

Multiplicamos los polinomios a la derecha del signo igual

$540 \cdot x = x \cdot 540 + x \cdot 3x -6 \cdot 540 -6 \cdot 3x$

Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones y
Descartamos la solución negativa puesto que representa el número de estudiantes.

Por tanto $\fbox{x=36} \longrightarrow y = \frac{540}{36} \longrightarrow \fbox{y=15}$

En principio eran 36 estudiantes y tocaban a 15 euros cada uno.

Al final fueron 30 estudiantes y pagaron 18 euros cada uno