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Problema resuelto con sistema por sustitución

Un grupo de estudiantes organiza una excursión para lo cual alquilan un autocar cuyo precio es de 540 euros. Al salir, no se presentan 6 estudiantes y esto hace que cada uno de los otros pague 3 euros más. Calcula el número de estudiantes que fueron a la excursión y que cantidad pagó cada uno.

SOLUCIÓN

Número de estudiantes \longrightarrow x
Cada estudiante paga \longrightarrow y euros

\frac{540}{x}=y


Al salir cambia la situación:
Estudiantes: x-6 (6 menos)
Precio por estudiante: y+3 (3 euros más cada uno)
Ahora la ecuación es

\frac{540}{x-6}=y+3


Con ambas ecuaciones formamos un sistema

\left\{
\begin{array}{c}
\dfrac{540}{x}=y \\ \\
\dfrac{540}{x-6}=y+3
\end{array}
\right.

Resolvemos por sustitución. Como y está despejada en la primera ecuación, sustituimos por su valor en la segunda ecuación

\frac{540}{x-6}=\textcolor{blue}{\frac{540}{x}}+3

Hacemos la suma de la derecha

\frac{540}{x-6}=\frac{540+3x}{x}

Ahora hacemos productos cruzados

540 \cdot x = (x-6) \cdot (540+3x)

Multiplicamos los polinomios a la derecha del signo igual

540 \cdot x = x \cdot 540 + x \cdot 3x -6 \cdot 540 -6 \cdot 3x

540x = 540x + 3x^2 - 4340 -18x

0 =  3x^2  -18x - 3240

Resolvemos la ecuación de segundo grado y obtenemos como soluciones x=-30 y x=36
Descartamos la solución negativa puesto que x representa el número de estudiantes.

Por tanto \fbox{x=36} \longrightarrow y = \frac{540}{36} \longrightarrow \fbox{y=15}

En principio eran 36 estudiantes y tocaban a 15 euros cada uno.

Al final fueron 30 estudiantes y pagaron 18 euros cada uno

moderación a priori

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