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Polinomio con raíz el doble de otra raíz

Determine el valor de , para que el polinomio , tenga una raíz igual al doble de la otra.

SOLUCIÓN

Supongamos que las raíces son y .
Entonces por el teorema del factor (basado en el teorema del resto):

$P(a)=0 \longrightarrow a^3-8a^2+9a+k = 0$
$P(2a)=0 \longrightarrow (2a)^3-8 \cdot (2a)^2+9 \cdot 2a+k = 0$

Haciendo cálculos, las ecuaciones quedarían así:

$\left\{ \begin{array}{l} a^3-8a^2+9a+k = 0 \\ 8a^3- 32 a^2+ 18a+k = 0 \end{array} \right.$

Podemos despejar en ambas ecuaciones e igualar los resultados

$\left\{ \begin{array}{l} k= -a^3+8a^2-9a \\ k= -8a^3+ 32 a^2- 18a \end{array} \right.$

Ordenamos y resolvemos la ecuación de tercer grado

$a \cdot (7a^2-24a+9) = 0 \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0 \\ 7a^2-24a+9 = 0 \end{array} \right.$

$\begin{array}{ccc} & & a_1 = \frac{24+18}{14}=3\\ & \nearrow &\\ a=\frac{-(-24)\pm \sqrt{(-24)^2-4 \cdot7\cdot9}}{2 \cdot7}= \frac{24\pm \sqrt{324}}{14}& &\\ & \searrow &\\& &a_2 = \frac{24-18}{14}=\frac{3}{7}\end{array}$

La raíz no nos sirve. Para cada una de las otras dos soluciones obtendremos un valor de

$a=3 \longrightarrow k= -3^3+8 \cdot 3^2-9 \cdot 3 \longrightarrow \fbox{k=18}$

$a=\frac{3}{7} \longrightarrow k=-\left(\frac{3}{7}\right)^3 + 8 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^2 - 9 \cdot \frac{3}{7} \longrightarrow \fbox{k=-\dfrac{664}{343}}$