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Expresión matricial y resolución de sistema

Dado el siguiente sistema:

$\left\{ \begin{array}{ccc} 5x+4y-6z=11\\ -5x+4z-3=-18 \\4z+4y=-4 \end{array} \right.$

a) Escribe la matriz de los coeficientes, la matriz ampliada, la de las incógnitas y la de los términos independientes. Expresa el sistema en forma matricial.

b) Resuelve el sistema por el método que desees (Gauss o Cramer). A la vista de las soluciones, ¿de qué tipo es el sistema?

SOLUCIÓN

Antes de poner las matrices debemos ordenar el sistema

$\left\{ \begin{array}{ccccc} 5x & +4y & -6z &=&11 \\ -5x & &+4z&=& -15 \\ &4y&+4z&=&-4 \end{array} \right.$

Una vez ordenado, ya podemos expresar las matrices

Matriz de los coeficientes
$A = \left( \begin{array}{ccc} 5 & 4 & -6 \\ -5 & 0 &4 \\0&4&4 \end{array} \right)$

Matriz ampliada
$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 5 & 4 & -6 &11\\ -5 & 0 &4&-15 \\0&4&4&-4 \end{array} \right)$

Matriz de las incógnitas
$X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$

Matriz de los términos independientes
$B = \left( \begin{array}{c} 11\\ -15 \\-4 \end{array} \right)$

Expresión matricial del sistema

$A \cdot X = B$

$\left( \begin{array}{ccc} 5 & 4 & -6 \\ -5 & 0 &4 \\0&4&4 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 11\\ -15 \\-4 \end{array} \right)$

b) Resolvemos el sistema por Gauss

$\left( \begin{array}{ccc|c} 5 & 4 & -6 &11\\ -5 & 0 &4&-15 \\0&4&4&-4 \end{array} \right) \: \begin{array}{c} \\ F_1+F_2 \rightarrow F_2 \\ \: \end{array} \: \left( \begin{array}{ccc|c} 5 & 4 & -6 &11\\ 0 & 4 &-2&-4 \\0&4&4&-4 \end{array} \right)$

$\begin{array}{c} \: \\ \: \\ F_3-F_2 \rightarrow F_3 \end{array} \: \left( \begin{array}{ccc|c} 5 & 4 & -6 &11\\ 0 & 4 &-2&-4 \\0&0&6&0 \end{array} \right)$

Una vez que tenemos los ceros de Gauss, pasamos a ecuaciones y lo resolvemos de abajo hacia arriba

$\left. \begin{array}{r} 5x+4y-6z=11\\ 4y-2z=-4 \\6z=0 \end{array} \right\}$

$6z=0 \longrightarrow z=\frac{0}{6} \longrightarrow \fbox{z=0}$

$4y-2z=-4 \longrightarrow 4y-2\cdot 0 = -4 \longrightarrow 4y=-4 \longrightarrow \fbox{y=-1}$

$5x+4y-6z=11\longrightarrow 5x+4 \cdot (-1) + 6 \cdot 0=11 \longrightarrow 5x=15 \longrightarrow \fbox{x=3}$

Se trata de un S.C.D. (Sistema Compatible Determinado)