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Vectores. Base y dependencia lineal

Dados los vectores $\vec{v_1}=(3,-1,4)$ ; $\vec{v_2}=(-3,0,5)$ ; $\vec{v_3}=(2,1,0)$ se pide:

a) ¿Forman una base de ${\Re}^3$ ? ¿Por qué?

b) Realiza las siguientes operaciones:

b1) $\vec{v_1} - (\vec{v_2} - 2 \vec{v_3})$

b2) $\vec{v_2} \cdot \vec{v_3}$

b3) $\vec{v_1} \times \vec{v_3}$

SOLUCIÓN

Para que 3 vectores de ${\Re}^3$ formen una base, basta con que sean linealmente independientes.

$\left| \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 4 \\-3 & 0 & 5 \\2 & 1 & 0 \end{array}\right| = -37 \neq 0 \longrightarrow$ son linealmente independientes y por tanto forman una base.

$\vec{v_1} - (\vec{v_2} - 2 \vec{v_3}) = (3,-1,4) - \left( (-3,0,5)-2(2,1,0) \right)=$

$\vec{v_2} \cdot \vec{v_3} = (-3,0,5) \cdot (2,1,0) = (-3) \cdot2 + 0 \cdot 1 + 5 \cdot 0 =-6$

$\vec{v_1} \times \vec{v_3}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\3 & -1 & 4 \\2 & 1 & 0 \end{array} \right| = -4\vec{i} +8\vec{j} + 5 \vec{k}$

$\vec{v_1} \times \vec{v_3}=(-4,8,5)$