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Funciones gráfica a trozos

Representa gráficamente la función:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 2x - 4 & si & x < 1 \\ \\ x^2-3x & si & x \geq 1 \end{array} \right.$

SOLUCIÓN

Se trata de una función a trozos.
– El primer trozo está definido para y es una recta (polinómica de primer grado).
– El segundo trozo está definido para $x \geq 1$ y es una parábola (polinómica de segundo grado).

El primer trozo hay que dibujarlo en la zona azul y el segundo trozo en la verde

El primer trozo es la recta .
Para dibujarlo necesitamos dos puntos (recordando que ).
Podríamos tomar los puntos x=-2 y x=0 por ejemplo, pero para obtener una mejor gráfica es recomendable tomar el punto (x=1) donde acaba su dominio y lo dibujaremos como "punto hueco" porque
$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 0 & -4 \\ 1 & -2 \\ \end{array}$
Ya podemos dibujar el primer trozo

Para el segundo trozo (parábola ) necesitamos calcular vértice, orientación, corte con los ejes y otros puntos.

La primera coordenada del vértice se calcula con la fórmula:
$x=\frac{-b}{2a} \longrightarrow x=\frac{3}{2 \cdot 1}=1.5$
Ahora calculamos la segunda coordenada:
$y=(1.5)^2-3 \cdot 1.5 = -2.25$
Por tanto el vértice es

El signo (+) de x² nos indica que es una parábola convexa (vértice abajo y ramas hacia arriba).

Veamos el corte con los ejes.
Al eje vertical no lo cortará porque está definida en $x \geq 1$ (recuerda que el eje vertical está en x=0).
Para el corte con el eje de abcisas (eje horizontal) resolvemos
$y=0 \longrightarrow 0 = x^2-3x$ obteniendo como soluciones y .
Por tanto los puntos de corte son y
El punto no tenemos que dibujarlo porque está fuera del dominio de la parábola ( $x \geq 1$ ), pero si que dibujaremos el punto

Ahora calculamos otros puntos:
$\begin{array}{c|c} x & y \\ \hline 1 & -2 \\ 3 & -2 \\ 4 & 4 \\ \end{array}$
Ya podemos dibujar toda la función